Алгебра

Розв'язування нерівностей і запис відповіді у вигляді проміжків

Q: Чим кругла дужка відрізняється від квадратної?

Кругла дужка показує, що межова точка не входить, як при . Квадратна дужка показує, що вона входить, як при ≤ чи ≥. Нескінченність завжди пишуть із круглою дужкою.

Q: Чи може нерівність не мати розв'язків?

Так. Наприклад, |x| 3.

Q: Чому не можна множити обидві частини на x + 2?

Бо ви не знаєте, чи x + 2 додатне, чи від'ємне, а отже, й того, чи треба змінювати знак. Таблиця знаків обходить цю проблему.

Q: Як записати множину дійсних чисел проміжком?

Її записують як (-∞, ∞). Це розв'язок, коли нерівність зводиться до завжди правильного твердження, наприклад |x| ≥ -1 або x + 2 > x.

Q: Що означає знак об'єднання у відповіді?

Знак cup об'єднує два окремі проміжки в одну множину розв'язків. Це переклад слова «або» мовою проміжків, як у (-∞, -3] cup [2, ∞).

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубліковано 25 жовтня 2026 р.

Нерівність розв'язують майже як рівняння, але з одним додатковим правилом та іншим виглядом відповіді: множиною значень замість одного числа. Цей посібник розбирає всі поширені випадки.

Знаки нерівності й вигляд відповіді

Нерівність порівнює два вирази за допомогою одного з чотирьох знаків: $<$ (менше), $>$ (більше), $\le$ (менше або дорівнює) і $\ge$ (більше або дорівнює). Її розв'язок зазвичай є нескінченною множиною чисел: його записують нерівністю, зображають на числовій прямій або записують проміжком.

$x < 5$ відповідає проміжку $(-\infty, 5)$ ; кругла дужка показує, що 5 не входить, а на числовій прямій точку позначають порожнім (виколотим) кружечком.
$x \le 3$ відповідає $(-\infty, 3]$ ; квадратна дужка показує, що 3 входить, і точку позначають зафарбованим кружечком.
$-2 \le x < 4$ відповідає $[-2, 4)$ .
Нескінченність завжди пишуть із круглою дужкою, бо це не число, яке можна включити. В українських підручниках межі проміжку часто розділяють крапкою з комою замість коми; обидва записи позначають ту саму множину.

Єдине правило, яке відрізняється від рівнянь

До обох частин можна додавати чи віднімати будь-яке число й множити чи ділити обидві частини на додатне число, точно як у рівнянні. Але якщо помножити чи поділити обидві частини на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний.

a < b \;\text{ і }\; c < 0 \;\Rightarrow\; ac > bc

Щоб зрозуміти чому, візьміть правильну нерівність $-2 < 3$ і помножте обидві частини на $-1$ . Вийде $2$ і $-3$ , і $2 > -3$ . Множення на від'ємне число віддзеркалює числову пряму, через що змінюється те, яка частина більша. Те саме відбувається, якщо поміняти частини нерівності місцями: $5 > x$ означає те саме, що $x < 5$ .

Лінійні нерівності

Приклад 1: $3x - 5 < 10$

Додайте 5 до обох частин: $3x < 15$ .
Поділіть на 3, додатне число, тому знак зберігається: $x < 5$ .
Проміжок: $(-\infty, 5)$ .

Приклад 2: $-2x + 7 \ge 1$

Відніміть 7: $-2x \ge -6$ .
Поділіть на $-2$ і змініть знак: $x \le 3$ .
Перевірте значення всередині розв'язку, $x = 0$ : $7 \ge 1$ правильно. Перевірте значення поза ним, $x = 4$ : $-1 \ge 1$ хибно. Розв'язок: $(-\infty, 3]$ .

Перевірка одного значення з кожного боку межової точки займає десять секунд і напевно виявить забуту зміну знака.

Подвійні нерівності: «і» та «або»

Подвійна нерівність на кшталт $-3 \le 2x + 1 < 9$ означає, що виконуються обидві умови. Її розв'язують, застосовуючи те саме перетворення одночасно до всіх трьох частин.

-3 \le 2x + 1 < 9 \;\Rightarrow\; -4 \le 2x < 8 \;\Rightarrow\; -2 \le x < 4

Розв'язок — $[-2, 4)$ , спільна частина обох умов. Умова з «або», наприклад $x < -1$ або $x \ge 3$ , — це об'єднання двох частин, і її записують як $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ .

Нерівності з модулем

Модуль $|A|$ — це відстань від $A$ до нуля. Відстань, менша за $k$ , означає близькість до нуля, що дає один проміжок; відстань, більша за $k$ , означає віддаленість, що дає дві частини. При $k > 0$ :

|A| < k \iff -k < A < k, \qquad |A| > k \iff A < -k \;\text{ або }\; A > k

Приклад 3: $|x - 4| < 3$

Запишіть як подвійну нерівність: $-3 < x - 4 < 3$ .
Додайте 4 до всіх частин: $1 < x < 7$ ; отже, розв'язок — $(1, 7)$ : усі числа, віддалені від 4 менш ніж на 3 одиниці.

Приклад 4: $|2x + 1| \ge 5$

Розбийте на два випадки: $2x + 1 \ge 5$ або $2x + 1 \le -5$ .
Розв'яжіть обидва: $x \ge 2$ або $x \le -3$ .
Розв'язок: $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$ .

Якщо $k$ від'ємне, нерівність $|A| < k$ не має розв'язків, а $|A| > k$ правильна для всіх дійсних чисел, бо модуль ніколи не буває від'ємним.

Квадратні нерівності й метод інтервалів

Не намагайтеся добувати корінь у нерівності. Натомість перенесіть усе в одну частину, знайдіть, де вираз дорівнює нулю, і дослідіть його знак між цими точками.

Приклад 5: $x^2 - x - 6 > 0$

Розкладіть на множники: $(x - 3)(x + 2) > 0$ . Критичні точки: $x = -2$ і $x = 3$ .
Вони ділять числову пряму на три проміжки. Перевірте в кожному по значенню: $x = -3$ дає $(-6)(-1) = 6 > 0$ ; $x = 0$ дає $(-3)(2) = -6 < 0$ ; $x = 4$ дає $(1)(6) = 6 > 0$ .
Залиште додатні проміжки: $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$ . Межові точки не входять, бо нерівність строга.

На графіку $y = x^2 - x - 6$ — парабола з вітками вгору, яка поза своїми коренями лежить вище осі x, що узгоджується з методом інтервалів. Калькулятор квадратних рівнянь знайде корені, якщо їх важко отримати розкладанням.

Дробово-раціональні нерівності

Якщо невідоме стоїть у знаменнику, ніколи не множте обидві частини на цей знаменник: ви не знаєте, додатний він чи від'ємний. Натомість використовуйте таблицю знаків із нулями чисельника й знаменника.

Приклад 6: $\dfrac{x - 1}{x + 2} \le 0$

Критичні точки: чисельник дорівнює нулю при $x = 1$ , знаменник — при $x = -2$ .
Перевірте: $x = -3$ дає $\frac{-4}{-1} = 4$ (додатне); $x = 0$ дає $-\frac{1}{2}$ (від'ємне); $x = 2$ дає $\frac{1}{4}$ (додатне).
Залиште від'ємний проміжок і включіть $x = 1$ , де вираз дорівнює нулю. Виключіть $x = -2$ , де знаменник дорівнює нулю.
Розв'язок: $(-2, 1]$ .

Нерівності з двома невідомими

Нерівність на кшталт $y > 2x + 1$ задає область на площині. Побудуйте межову пряму $y = 2x + 1$ , пунктиром для строгої нерівності й суцільною лінією для $\le$ чи $\ge$ , а потім заштрихуйте півплощину, яка її задовольняє. Найшвидше перевірити початок координат: $0 > 1$ хибно, тому заштрихуйте бік, що не містить $(0, 0)$ . Побудовник графіків малює такі нерівності безпосередньо.

Часті помилки

Забути змінити знак після множення чи ділення на від'ємне число.
Множити на вираз, що містить невідоме, знак якого невідомий.
Записувати $|x - 4| < 3$ лише як $x - 4 < 3$ , втрачаючи нижню межу.
Ставити квадратну дужку біля нескінченності або не ту дужку біля межової точки.
Включати значення, за якого знаменник дорівнює нулю.

Калькулятор нерівностей показує кожен крок і запис проміжками. Кроки розв'язування рівнянь, які тут постійно потрібні, описано в статті як розв'язувати лінійні рівняння.

Прикладна задача з нерівністю

Нерівності з'являються щоразу, коли в ситуації є межа, мінімум чи бюджет. Звороти на кшталт «не менше», «не більше», «щонайбільше» і «понад» підказують потрібний знак: «не менше» означає $\ge$ , «щонайбільше» й «не більше» означають $\le$ , а «понад» чи «більше ніж» означають $>$ .

Приклад: тариф мобільного зв'язку

Тариф коштує 20 доларів на місяць плюс 0,10 долара за повідомлення, і ви хочете витрачати не більше 35 доларів. Нехай $t$ — кількість повідомлень.
Складіть нерівність: $20 + 0.10t \le 35$ .
Відніміть 20: $0.10t \le 15$ . Поділіть на 0,10, додатне число: $t \le 150$ .
Крім того, кількість повідомлень має бути цілою й не меншою за нуль, тому розв'язок — будь-яке ціле число від 0 до 150.

Умова задачі додала обмеження, якого сама алгебра не давала. Справжні задачі часто вимагають $t \ge 0$ або умови цілочисельності, тому завжди запитуйте себе, які значення мають сенс, перш ніж записати остаточний проміжок.

Перевірка відповіді, записаної проміжками

Розв'язок нерівності має три складники, в які можуть закрастися помилки: межові значення, чи входить кожна межова точка і з якого боку від межової точки лежить розв'язок. Перевіряйте їх у такому порядку. Підставте кожну межову точку в початкову нерівність, щоб побачити, чи виходить рівність, адже це показує, чи входить точка в розв'язок. Потім перевірте одне значення в кожному проміжку вашого розв'язку й одне поза ним.

У прикладі з дробом $x = 1$ дає $\frac{0}{3} = 0$ , і $0 \le 0$ правильно, отже, 1 входить у розв'язок. При $x = -2$ вираз не визначений, тому $-2$ залишається виключеним, хоча нерівність і допускає рівність. Ці дві перевірки підтверджують дужки в $(-2, 1]$ .

Поширені запитання

Коли знак нерівності змінюється на протилежний?

Лише коли ви множите чи ділите обидві частини на від'ємне число або міняєте частини місцями. Додавання чи віднімання, навіть від'ємного числа, знака ніколи не змінює.

Чим кругла дужка відрізняється від квадратної?

Кругла дужка показує, що межова точка не входить, як при $<$ чи $>$ . Квадратна дужка показує, що вона входить, як при $\le$ чи $\ge$ . Нескінченність завжди пишуть із круглою дужкою.

Чи може нерівність не мати розв'язків?

Так. Наприклад, $|x| < -2$ не має розв'язків, бо модуль ніколи не буває від'ємним. Лінійна нерівність теж може звестися до хибного твердження на кшталт $0 > 3$ .

Чому не можна множити обидві частини на x + 2?

Бо ви не знаєте, чи $x + 2$ додатне, чи від'ємне, а отже, й того, чи треба змінювати знак. Таблиця знаків обходить цю проблему.

Як записати множину дійсних чисел проміжком?

Її записують як $(-\infty, \infty)$ . Це розв'язок, коли нерівність зводиться до завжди правильного твердження, наприклад $|x| \ge -1$ або $x + 2 > x$ .

Що означає знак об'єднання у відповіді?

Знак $\cup$ об'єднує два окремі проміжки в одну множину розв'язків. Це переклад слова «або» мовою проміжків, як у $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$ .

MathSolver Pro Editorial Team

Редакція й математична вичитка

Наша редакція пише кожен посібник так, щоб він пояснював міркування за кожним методом, а не лише відповідь. Кожен розібраний приклад перед публікацією перевіряється рушіями розв'язування сайту й автоматичними тестами, а статті оновлюються, щойно змінюється метод чи формат тесту.