Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу

Тригонометрія

Як розв'язати будь-який трикутник, випадок за випадком

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубліковано

Розв'язати трикутник означає за відомими даними знайти всі три сторони й усі три кути. Потрібний інструмент залежить від того, які три елементи вам відомі, тому перший крок завжди — визначити випадок.

Що означає розв'язати трикутник

Кожен трикутник має шість елементів: три сторони й три кути. Якщо відомі три з них, серед яких хоча б одна сторона, трикутник, як правило, визначений, і решту три можна обчислити. Знати лише три кути недостатньо, адже подібні трикутники будь-якого розміру мають однакові кути; цей випадок іноді позначають ККК, і єдиного розв'язку він не має.

Дані називають у тому порядку, у якому вони трапляються під час обходу трикутника. КСК означає два кути й сторону між ними; СКС — дві сторони й кут між ними. Шість можливих конфігурацій і відповідний інструмент для кожної:

  • Прямокутний трикутник і будь-які два інші елементи: синус, косинус, тангенс і теорема Піфагора.
  • ККС або КСК: сума кутів, потім теорема синусів.
  • СКС: теорема косинусів для третьої сторони, потім решта кутів.
  • ССС: теорема косинусів для кутів.
  • ССК: теорема синусів із перевіркою, чи існує нуль, один чи два трикутники.
  • ККК: лише форма, без єдиного розміру.

Завжди робіть рисунок і позначайте на ньому дані, перш ніж вибирати метод. Більшість помилок виникає, коли сторону зіставляють не з тим кутом.

Прямокутний трикутник: синус, косинус і тангенс

У прямокутному трикутнику три тригонометричні функції пов'язують гострий кут θ\theta зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою.

sin⁡θ=протгіп,cos⁡θ=прилгіп,tan⁡θ=протприл\sin\theta = \frac{\text{прот}}{\text{гіп}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{прил}}{\text{гіп}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{прот}}{\text{прил}}

Приклад 1: гіпотенуза 10 і кут 35∘35^\circ

  1. Протилежний катет: 10sin⁡35∘≈5.73610\sin 35^\circ \approx 5.736.
  2. Прилеглий катет: 10cos⁡35∘≈8.19210\cos 35^\circ \approx 8.192.
  3. Інший гострий кут: 90∘−35∘=55∘90^\circ - 35^\circ = 55^\circ.
  4. Перевірка: 5.7362+8.1922≈32.90+67.10=100=1025.736^2 + 8.192^2 \approx 32.90 + 67.10 = 100 = 10^2.

Приклад 2: висота дерева за його тінню

  1. Дерево відкидає тінь завдовжки 18 м, коли сонце стоїть на 40∘40^\circ над горизонтом.
  2. Висота — катет, протилежний куту, а тінь — прилеглий катет, тому беремо тангенс: h=18tan⁡40∘≈15.10h = 18\tan 40^\circ \approx 15.10 м.

Щоб знайти кут, використовуйте обернену функцію. У прямокутному трикутнику зі сторонами 3, 4 і 5 менший гострий кут дорівнює tan⁡−134≈36.87∘\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ.

Два кути й сторона (ККС, КСК)

Знайдіть третій кут, віднявши відомі від 180∘180^\circ. Тоді у вас є всі кути й одна сторона, тобто повна пара для теореми синусів:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

Приклад 3 (КСК): A=50∘A = 50^\circ, B=65∘B = 65^\circ, c=12c = 12

  1. C=180∘−50∘−65∘=65∘C = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ.
  2. a=12sin⁡50∘sin⁡65∘≈10.14a = \frac{12\sin 50^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 10.14.
  3. B=CB = C: трикутник рівнобедрений, і b=c=12b = c = 12 без додаткових обчислень.

У цих випадках завжди рівно один розв'язок, якщо сума двох даних кутів менша за 180∘180^\circ.

Дві сторони й кут між ними (СКС)

За допомогою теореми косинусів знайдіть сторону, протилежну відомому куту. Потім знайдіть другий кут. Найнадійніше вибрати кут, протилежний меншій із двох початкових сторін, адже він обов'язково гострий, і арксинус дає його однозначно.

Приклад 4: b=10b = 10, c=14c = 14, A=110∘A = 110^\circ

  1. a2=102+142−2(10)(14)cos⁡110∘≈296+95.77=391.77a^2 = 10^2 + 14^2 - 2(10)(14)\cos 110^\circ \approx 296 + 95.77 = 391.77, отже, a≈19.79a \approx 19.79.
  2. Оскільки AA тупий, BB і CC гострі. З sin⁡B=10sin⁡110∘19.79\sin B = \frac{10\sin 110^\circ}{19.79} отримуємо B≈28.34∘B \approx 28.34^\circ.
  3. C=180∘−110∘−28.34∘≈41.66∘C = 180^\circ - 110^\circ - 28.34^\circ \approx 41.66^\circ.
  4. Перевірка: найдовша сторона, 19,79, лежить навпроти найбільшого кута, 110∘110^\circ.

Три сторони (ССС)

Спершу перевірте, чи виконується для сторін нерівність трикутника: кожна сторона має бути меншою за суму двох інших. Потім використовуйте теорему косинусів у формі для косинуса й почніть із кута, протилежного найдовшій стороні:

cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Приклад 5: сторони 6, 8 і 9

  1. Кут навпроти 9: cos⁡C=36+64−8196=1996\cos C = \frac{36 + 64 - 81}{96} = \frac{19}{96}, отже, C≈78.58∘C \approx 78.58^\circ.
  2. Кут навпроти 6: cos⁡A=64+81−36144=109144\cos A = \frac{64 + 81 - 36}{144} = \frac{109}{144}, отже, A≈40.80∘A \approx 40.80^\circ.
  3. Кут навпроти 8: 180∘−78.58∘−40.80∘≈60.61∘180^\circ - 78.58^\circ - 40.80^\circ \approx 60.61^\circ.
  4. Усі три кути гострі, на що вже вказувало 81<36+6481 < 36 + 64.

Дві сторони й кут не між ними (ССК)

Це неоднозначний випадок. Виразіть невідомий кут за теоремою синусів, sin⁡B=bsin⁡Aa\sin B = \frac{b\sin A}{a}, і дослідіть результат:

  • Якщо sin⁡B>1\sin B > 1, трикутника не існує.
  • Якщо sin⁡B=1\sin B = 1, існує один прямокутний трикутник.
  • Якщо sin⁡B<1\sin B < 1, перевірте і BB, і 180∘−B180^\circ - B. Кожне значення, що залишає додатний третій кут, дає допустимий трикутник.

Наприклад, A=30∘A = 30^\circ, a=6a = 6 і b=10b = 10 дають sin⁡B=56\sin B = \frac{5}{6}, тобто B≈56.44∘B \approx 56.44^\circ або 123.56∘123.56^\circ. Обидва значення залишають місце для третього кута, тому трикутників два. Стаття про теорему синусів повністю розв'язує обидва, а також випадки, коли трикутника немає і коли він рівно один.

Кути підйому й кути спуску

У багатьох прикладних задачах описано кути, що відраховуються від горизонталі. Кут підйому вимірюють угору до об'єкта, кут спуску — униз. Оскільки горизонталі через спостерігача й об'єкт паралельні, кут спуску з A на B дорівнює куту підйому з B на A.

Приклад 6: перепад висот дороги

  1. Пряма дорога піднімається під кутом нахилу 3∘3^\circ на відстані 200 м по горизонталі. Наскільки вона набирає висоту?
  2. Перепад висот =200tan⁡3∘≈10.48= 200\tan 3^\circ \approx 10.48 м.
  3. У вигляді ухилу це приблизно 5,2 відсотка, оскільки tan⁡3∘≈0.0524\tan 3^\circ \approx 0.0524.

Задачі з двома променями зору, наприклад коли на вершину будівлі дивляться з двох точок на землі, розв'язують, поєднуючи прямокутний трикутник і довільний трикутник, часто з теоремою синусів для довільного трикутника.

Контрольний список для кожної відповіді

  • Сума трьох кутів дорівнює 180∘180^\circ.
  • Найдовша сторона лежить навпроти найбільшого кута, а найкоротша — навпроти найменшого.
  • Кожна сторона менша за суму двох інших.
  • Повторне обчислення сторони за іншою теоремою дає те саме значення з точністю до округлення.
  • Відповіді округлюють лише наприкінці, з точністю, якої вимагає задача.

Коли трикутник розв'язано, його площу знаходять за формулою 12absin⁡C\frac{1}{2}ab\sin C за будь-якими двома сторонами й кутом між ними. Калькулятор теореми косинусів розв'язує всі випадки довільних трикутників крок за кроком, а калькулятор відстані між двома точками працює з трикутниками, заданими координатами.

Округлення й точність

Задачі на трикутники пов'язують кілька обчислень у ланцюжок, і невеликі похибки округлення на початку можуть перетворитися на помітні розбіжності наприкінці. Зберігайте повну точність калькулятора для кожного проміжного значення, запам'ятовуючи результати чи записуючи щонайменше чотири значущі цифри. Округлюйте лише остаточні відповіді, з точністю, якої вимагає задача: зазвичай до одного чи двох знаків після коми для кутів у градусах і до розумної кількості значущих цифр для довжин.

Через округлення сума трьох обчислених кутів може вийти 179.9∘179.9^\circ або 180.1∘180.1^\circ. Це не помилка методу. Але якщо сума відрізняється на цілий градус чи більше, щось пішло не так — майже завжди сторону зіставили не з тим кутом або пропустили тупокутний розв'язок. Друге, незалежне обчислення, наприклад знаходження останньої сторони за обома теоремами, — найнадійніший спосіб підтвердити відповідь.

Поширені запитання

Скільки даних потрібно, щоб розв'язати трикутник?

Три, серед яких хоча б одна сторона. Самі лише три кути задають тільки форму. Конфігурація ССК може дати нуль, один чи два трикутники, тому вона потребує додаткової перевірки.

З якої теореми починати для довільного трикутника?

Якщо у вас є сторона й протилежний їй кут, почніть із теореми синусів. У випадку СКС чи ССС такої пари немає, тому почніть із теореми косинусів.

Чому в задачі ССС спершу шукають найбільший кут?

Лише найбільший кут може бути тупим. Якщо обчислити його через арккосинус, його буде визначено правильно, а два інші кути гарантовано гострі, тож неоднозначності не залишається.

Чи можна розв'язати трикутник за трьома кутами?

Не однозначно. Будь-яке збільшення трикутника зберігає ті самі кути: можна знайти відношення сторін, але не їхні довжини. Щоб задати розмір, потрібна довжина однієї сторони.

Як запам'ятати функції в прямокутному трикутнику?

Синус — це протилежний катет, поділений на гіпотенузу, косинус — прилеглий катет, поділений на гіпотенузу, а тангенс — протилежний катет, поділений на прилеглий. Зручно пам'ятати, що синус і тангенс «дивляться» на протилежний катет, а косинус — на прилеглий, котангенс же дорівнює прилеглому катету, поділеному на протилежний, і, крім того, корисно знати, що тангенс дорівнює синусу, поділеному на косинус.

MathSolver Pro Editorial Team

Редакція й математична вичитка

Наша редакція пише кожен посібник так, щоб він пояснював міркування за кожним методом, а не лише відповідь. Кожен розібраний приклад перед публікацією перевіряється рушіями розв'язування сайту й автоматичними тестами, а статті оновлюються, щойно змінюється метод чи формат тесту.