Тригонометрія

Теорема синусів, зокрема неоднозначний випадок

Q: Чи працює теорема синусів для прямокутних трикутників?

Так. При C = 90^circ маємо sin C = 1, тому a/(sin A) = c, що перетворюється на звичайне означення sin A = a/c. У прямокутному трикутнику основні означення зазвичай швидші, але теорема синусів дає ті самі результати.

Q: Чому випадок ССК іноді дає два трикутники?

Рівняння sin B = k при 0 < k < 1 дає гострий кут і суміжний з ним тупий кут з тим самим синусом. Якщо відомий кут плюс тупий кандидат залишаються меншими за 180^circ, існують обидва трикутники.

Q: Що означає 2R у теоремі синусів?

Кожне відношення a/(sin A) дорівнює діаметру кола, що проходить через три вершини. Наприклад, трикутник з a = 10 і A = 30^circ дає 10/0.5 = 20, тому радіус його описаного кола дорівнює 10.

Q: Чи можна знайти кут за допомогою теореми синусів?

Так, розв'язавши sin B = (bsin A)/a і потім застосувавши арксинус. Пам'ятайте, що арксинус дає лише гострі кути, тому перевірте, чи не підходить також суміжний тупий кут.

Q: Як зрозуміти, який випадок у моїй задачі?

Запишіть три відомі елементи в тому порядку, у якому вони розташовані за контуром трикутника. Два кути й будь-яка сторона — це ККС або КСК, і теорема синусів розв'язує задачу безпосередньо. Дві сторони й кут між ними — це СКС, три сторони — ССС; обидва випадки потребують спершу теореми косинусів. Дві сторони й кут не між ними — це ССК, неоднозначний випадок, у якому треба перевірити, чи існує нуль, один чи два трикутники.

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубліковано 25 жовтня 2026 р.

Теорема синусів стверджує, що в будь-якому трикутнику кожна сторона, поділена на синус протилежного кута, дає те саме число. За її допомогою розв'язують трикутник, коли відомі два кути й сторона, а за певної обережності — і коли відомі дві сторони й кут, протилежний одній із них.

Формула й позначення

Позначте кути трикутника $A$ , $B$ і $C$ , а протилежні їм сторони — $a$ , $b$ і $c$ . Сторона, протилежна куту, — це та, що його не торкається. У цих позначеннях теорему синусів записують так:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Тут $R$ — радіус кола, що проходить через три вершини, так званого описаного кола. Більше двох із трьох дробів одночасно ніколи не використовують: на практиці теорема — це пропорція між стороною, протилежним їй кутом, ще однією стороною та її протилежним кутом. Її можна записати й в оберненому вигляді, $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$ , що зручніше, коли шукають кут.

Теорема справджується для будь-якого трикутника, а не лише для прямокутного, і належить до тригонометрії довільного трикутника. У прямокутному трикутнику з $C = 90^\circ$ вона зводиться до знайомого співвідношення $\sin A = \frac{a}{c}$ , оскільки $\sin 90^\circ = 1$ .

Чому теорема синусів правильна

Проведіть з вершини $C$ висоту на сторону $c$ і позначте її довжину $h$ . Трикутник розпадається на два прямокутні трикутники. У тому, де є кут $A$ , гіпотенуза дорівнює $b$ , тому $h = b\sin A$ . У тому, де є кут $B$ , гіпотенуза дорівнює $a$ , тому $h = a\sin B$ .

Обидва вирази описують ту саму висоту, отже, $b\sin A = a\sin B$ . Поділивши обидві частини на $\sin A\sin B$ , отримуємо $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ . Повторивши міркування з висотою з іншої вершини, додаємо сторону $c$ . Якщо кут $A$ тупий, основа висоти лежить поза трикутником, але ті самі рівності залишаються правильними, бо $\sin(180^\circ - A) = \sin A$ .

Та сама висота дає формулу площі. Площа дорівнює половині добутку основи на висоту, тобто за основи $c$ і висоти $b\sin A$ :

\text{Площа} = \tfrac{1}{2}bc\sin A = \tfrac{1}{2}ac\sin B = \tfrac{1}{2}ab\sin C

Наприклад, трикутник, у якому дві сторони завдовжки 8 і 11 утворюють кут $50^\circ$ , має площу $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ квадратних одиниць.

Коли її застосовувати: випадки ККС і КСК

Теоремі синусів потрібна хоча б одна повна пара: сторона й протилежний їй кут. Якщо ви знаєте два кути, ви знаєте й третій, адже сума кутів трикутника дорівнює $180^\circ$ . Тому будь-яку задачу з двома кутами й стороною можна розв'язати теоремою синусів. Ці випадки позначають ККС (кут, кут, сторона) і КСК (кут, сторона, кут).

Приклад 1 (ККС): $A = 40^\circ$ , $B = 60^\circ$ , $a = 10$

Третій кут: $C = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$ .
Знайдіть $b$ : $\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 40^\circ}$ , отже, $b = \frac{10\sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 13.47$ .
Знайдіть $c$ : $c = \frac{10\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 15.32$ .
Перевірка на правдоподібність: найбільший кут, $80^\circ$ , лежить навпроти найбільшої сторони, 15,32.

Приклад 2 (КСК): $A = 35^\circ$ , $C = 75^\circ$ , $b = 20$

Відома сторона лежить між двома відомими кутами. Спершу знайдіть $B = 180^\circ - 35^\circ - 75^\circ = 70^\circ$ , що завершує пару $b$ , $B$ .
$a = \frac{20\sin 35^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 12.21$ .
$c = \frac{20\sin 75^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 20.56$ .

Завжди обчислюйте за даною стороною, а не за стороною, яку ви обчислили й округлили. Так похибки округлення не накопичуватимуться.

Неоднозначний випадок (ССК)

Коли відомі дві сторони й кут, протилежний одній із них, дані можуть не описувати жодного трикутника, описувати рівно один або два різні. Причина в тому, що гострий кут і суміжний з ним кут мають однаковий синус, тому $\sin B = k$ дає двох кандидатів, $B$ і $180^\circ - B$ , і обидва можуть підійти.

Нехай кут $A$ гострий, $a$ — протилежна йому сторона, а $b$ — інша відома сторона. Обчисліть висоту $h = b\sin A$ . Тоді:

Якщо $a < h$ , сторона закоротка, щоб дістати до основи: трикутника немає.
Якщо $a = h$ , вона ледве дістає до основи: один прямокутний трикутник.
Якщо $h < a < b$ , вона може стати у двох положеннях: два трикутники.
Якщо $a \ge b$ , підходить лише одне положення: один трикутник.

Якщо $A$ тупий, трикутник існує при $a > b$ і не існує в іншому разі, адже сторона навпроти тупого кута має бути найбільшою.

Приклад 3: два трикутники при $A = 30^\circ$ , $a = 6$ , $b = 10$

Висота: $h = 10\sin 30^\circ = 5$ . Оскільки $5 < 6 < 10$ , слід очікувати двох трикутників.
$\sin B = \frac{10\sin 30^\circ}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.8333$ , отже, $B \approx 56.44^\circ$ або $B \approx 123.56^\circ$ .
Перший трикутник: $C \approx 93.56^\circ$ і $c = \frac{6\sin C}{\sin 30^\circ} \approx 11.98$ .
Другий трикутник: $C \approx 26.44^\circ$ і $c \approx 5.34$ .

Приклад 4: немає трикутника, потім рівно один

При $A = 30^\circ$ , $a = 4$ , $b = 10$ : $\sin B = \frac{10(0.5)}{4} = 1.25$ . Синус не може бути більшим за 1, тому трикутника немає.
При $A = 30^\circ$ , $a = 12$ , $b = 10$ : $\sin B = \frac{5}{12}$ , отже, $B \approx 24.62^\circ$ або $155.38^\circ$ .
Другий варіант відпадає, оскільки $30^\circ + 155.38^\circ > 180^\circ$ . Один трикутник: $C \approx 125.38^\circ$ , $c \approx 19.57$ .

Геодезична задача

Геодезисти використовують теорему синусів, щоб знаходити відстані, які не можна пройти пішки. Дві точки $P$ і $Q$ на березі річки розташовані на відстані 100 м одна від одної. На протилежному березі росте дерево $T$ . Кут при $P$ між берегом і лінією візування на дерево дорівнює $52^\circ$ , при $Q$ — $71^\circ$ .

Приклад 5: ширина річки

Кут біля дерева: $180^\circ - 52^\circ - 71^\circ = 57^\circ$ , навпроти відомого базису завдовжки 100 м.
Відстань від $Q$ до дерева, навпроти кута $52^\circ$ : $QT = \frac{100\sin 52^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 93.96$ м.
Відстань від $P$ до дерева: $PT = \frac{100\sin 71^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 112.74$ м.
Ширина, тобто відстань від дерева до берега по перпендикуляру: $QT\sin 71^\circ \approx 88.84$ м. Через $PT\sin 52^\circ$ виходить те саме значення, що слугує перевіркою.

Та сама ідея тріангуляції, повторена у величезних мережах трикутників, дала змогу скласти карти цілих країн задовго до супутникового позиціювання й досі лежить в основі того, як приймачі супутникової навігації й мережі мобільного зв'язку оцінюють положення за кутами й відстанями.

Теорема синусів чи теорема косинусів?

Подивіться на дані. Якщо у вас є сторона й протилежний їй кут, а також ще один елемент, використовуйте теорему синусів. Якщо у вас дві сторони й кут між ними (СКС) або всі три сторони (ССС), повної пари немає, тому почніть із теореми косинусів. Після одного застосування теореми косинусів пара зазвичай з'являється, і теорема синусів може довершити решту; але надійніше спершу знайти найбільший кут за теоремою косинусів, щоб уникнути неоднозначності арксинуса.

Повний алгоритм вибору, випадок за випадком, ви знайдете в нашому посібнику з розв'язування трикутників. Щодо значень кутів, одиничне коло пояснює, чому $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$ , і саме звідси виникає неоднозначний випадок.

Часті помилки

Зіставити сторону з кутом, якому вона не протилежна. Спершу зробіть підписаний рисунок.
У випадку ССК забути другий розв'язок, $180^\circ - B$ .
Прийняти другий розв'язок, за якого сума кутів перевищує $180^\circ$ .
Користуватися калькулятором у режимі радіан при кутах у градусах.
Надто сильно округлювати проміжні кути, що може помітно змінити підсумкові значення сторін.

Швидка перевірка на правдоподібність виявляє більшість помилок: найбільша сторона має лежати навпроти найбільшого кута, а найменша — навпроти найменшого. Калькулятор теореми косинусів розв'язує будь-який трикутник за трьома даними й у неоднозначному випадку показує обидва розв'язки, тож ви можете перевірити свої обчислення.

Поширені запитання

Чи працює теорема синусів для прямокутних трикутників?

Так. При $C = 90^\circ$ маємо $\sin C = 1$ , тому $\frac{a}{\sin A} = c$ , що перетворюється на звичайне означення $\sin A = \frac{a}{c}$ . У прямокутному трикутнику основні означення зазвичай швидші, але теорема синусів дає ті самі результати.

Чому випадок ССК іноді дає два трикутники?

Рівняння $\sin B = k$ при $0 < k < 1$ дає гострий кут і суміжний з ним тупий кут з тим самим синусом. Якщо відомий кут плюс тупий кандидат залишаються меншими за $180^\circ$ , існують обидва трикутники.

Що означає 2R у теоремі синусів?

Кожне відношення $\frac{a}{\sin A}$ дорівнює діаметру кола, що проходить через три вершини. Наприклад, трикутник з $a = 10$ і $A = 30^\circ$ дає $\frac{10}{0.5} = 20$ , тому радіус його описаного кола дорівнює 10.

Чи можна знайти кут за допомогою теореми синусів?

Так, розв'язавши $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$ і потім застосувавши арксинус. Пам'ятайте, що арксинус дає лише гострі кути, тому перевірте, чи не підходить також суміжний тупий кут.

Як зрозуміти, який випадок у моїй задачі?

Запишіть три відомі елементи в тому порядку, у якому вони розташовані за контуром трикутника. Два кути й будь-яка сторона — це ККС або КСК, і теорема синусів розв'язує задачу безпосередньо. Дві сторони й кут між ними — це СКС, три сторони — ССС; обидва випадки потребують спершу теореми косинусів. Дві сторони й кут не між ними — це ССК, неоднозначний випадок, у якому треба перевірити, чи існує нуль, один чи два трикутники.

MathSolver Pro Editorial Team

Редакція й математична вичитка

Наша редакція пише кожен посібник так, щоб він пояснював міркування за кожним методом, а не лише відповідь. Кожен розібраний приклад перед публікацією перевіряється рушіями розв'язування сайту й автоматичними тестами, а статті оновлюються, щойно змінюється метод чи формат тесту.