Тригонометричні тотожності — калькулятор для доведення та спрощення

Про калькулятор тригонометричних тотожностей

Доведення тригонометричних тотожностей — одне з найнелюбиміших завдань старших класів. Формул для запам'ятовування десятки, очевидного першого кроку немає, а доведення може пів сторінки ходити по колу, перш ніж вийде або розвалиться. Багато учнів знають усі формули й однаково застрягають, бо не бачать, яка з них підходить наступною.

Калькулятор замінює перебір однією й тією самою надійною стратегією. Він записує обидві частини лише через $\sin x$ і $\cos x$ , розкриває кратні кути на зразок $2x$ і $3x$ , переносить усе в одну частину зі спільним знаменником, а потім замінює кожен $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$ . Якщо чисельник перетворюється на нуль, тотожність доведено; інакше рівність тотожністю не є, і калькулятор показує конкретний кут, за якого частини відрізняються.

Можна ввести й вираз без знака рівності. Тоді калькулятор спрощує його тим самим методом і розпізнає відомі результати; наприклад, $\tan x + \cot x$ перетворюється на $\sec x \csc x$ . Метод механічний, і в цьому вся суть: розібравшись, як він працює, ви зможете вручну застосовувати його до будь-якої тотожності зі збірника задач.

Що таке тригонометрична тотожність?

Тригонометрична тотожність — це рівність тригонометричних функцій, правильна для кожного значення змінної, за якого обидві частини визначені. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ — тотожність; $\sin x = \frac12$ — рівняння, яке справджують лише деякі кути, тому тотожністю воно не є.

Застереження «за якого обидві частини визначені» важливе. $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ — тотожність, хоча жодна з частин не існує при $x = 90°$ , адже рівність правильна для всіх кутів, за яких вирази мають зміст. Тому доведення показує, що частини збігаються там, де вони визначені, а не для кожного дійсного числа.

Тотожності — інструменти, а не самоціль. За їх допомогою спрощують вирази перед інтегруванням, розв'язують тригонометричні рівняння, перетворюють сигнали у фізиці й техніці та перетворюють добутки синусів і косинусів на суми. Уміння побачити, що два несхожі вирази насправді рівні, корисне в усьому математичному аналізі.

Як користуватися калькулятором тригонометричних тотожностей

Щоб довести тотожність, введіть рівність рівно з одним знаком рівності, наприклад 1 + tan(x)^2 = sec(x)^2.
Щоб спростити, введіть вираз без знака рівності, наприклад tan(x) + cot(x).
Використовуйте одну змінну, зазвичай $x$ . Функції записуйте звичайними скороченнями (sin для синуса й cot для котангенса), а степені — у вигляді sin(x)^2 або sin^2(x).
Допускаються кратні кути на зразок 2x і 3x, а також зсуви на величину, кратну pi/2, наприклад x + pi/2.
Натисніть «Спростити / довести» й прочитайте кроки; якщо тотожність неправильна, подивіться на кут контрприкладу.

Формули

Основна тригонометрична тотожність

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Формули частки

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

Формули обернених величин

\sec x = \frac{1}{\cos x},\quad \csc x = \frac{1}{\sin x}

Формули подвійного кута

\sin 2x = 2\sin x\cos x,\quad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

Зсув на чверть оберту

\sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = \cos x,\quad \cos\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = -\sin x

Розв'язаний приклад: Довести 1 + tan²x = sec²x

У прикладі доводиться $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ . Ліва частина перетворюється на $1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ , а права — на $\frac{1}{\cos^2 x}$ : тепер усі функції — синуси або косинуси.

Віднімаючи частини зі спільним знаменником $\cos^2 x$ , отримуємо чисельник $\cos^2 x + \sin^2 x - 1$ . Після заміни $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$ усі члени взаємно знищуються: чисельник тотожно дорівнює нулю, і тотожність правильна завжди, коли $\cos x \neq 0$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

1+{\tan\left( x\right)}^{2} \equiv {\sec\left( x\right)}^{2}

Як ми зрозуміли вашу задачу

Доведемо тригонометричну тотожність

1+{\tan\left( x\right)}^{2} = {\sec\left( x\right)}^{2}

Покроковий розв'язок

Виражаємо все через sin x і cos x
Використані тотожності:
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$
Ліва частина через синус і косинус
$\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}$
Права частина через синус і косинус
$\frac{-1}{\sin^{2} x - 1}$
Віднімаємо одну частину від іншої й зводимо різницю до спільного знаменника
Тотожність правильна тоді й лише тоді, коли цей чисельник дорівнює нулю за будь-якого значення змінної.
$\text{ліва частина} - \text{права частина} = \frac{N}{D},\quad N = \cos^{2} x + \sin^{2} x - 1$
Замінюємо кожен cos²x на 1 − sin²x і зводимо подібні
$N = 0$
Чисельник тотожно дорівнює нулю
Після застосування sin² + cos² = 1 усі члени взаємно знищилися, тому обидві частини рівні скрізь, де вони визначені.

Використані формули

Основна тригонометрична тотожність
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
Формули частки й обернених величин
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta}$
Формули подвійного кута
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta,\ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

Записавши обидві частини через синус і косинус і замінивши cos² на 1 − sin², отримуємо, що різниця частин дорівнює рівно 0, тому 1 + tan(x)^2 = sec(x)^2 виконується для кожного x, за якого обидві частини визначені.

Перевірка

Чисельна перевірка в 10 контрольних значеннях: обидві частини збігаються.

Докладне пояснення

Стратегія «синус і косинус»

Будь-яку тригонометричну функцію можна записати через синус і косинус; звівши все до цих двох функцій, ми змушуємо обидві частини тотожності говорити однією мовою. Тангенс, котангенс, секанс і косеканс стають дробами, і задача зводиться до алгебраїчних дробів від $\sin x$ і $\cos x$ .

Коли обидві частини записані дробами, віднімання й зведення до спільного знаменника перетворюють тотожність на одне твердження: деякий чисельник має дорівнювати нулю. Знаменники далі досліджувати не потрібно, адже вони лише показують, де початкові вирази не були визначені.

Остання перешкода полягає в тому, що $\sin x$ і $\cos x$ не незалежні: їх пов'язує рівність $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Замінюючи кожен парний степінь косинуса степенями $1 - \sin^2 x$ , ми усуваємо цю залежність для парних степенів. Після зведення подібних від правильної тотожності нічого не залишається. Тому метод завжди дає однозначну відповідь для допустимих виразів, на відміну від перебору, коли беруть одну частину й перетворюють її крок за кроком.

Кратні кути та зсуви

Кути на зразок $2x$ і $3x$ спочатку виражаються через функції самого $x$ . Формули подвійного кута дають $\sin 2x$ і $\cos 2x$ , а повторне застосування формул додавання дає $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ . Калькулятор перевіряє цю тотожність, як і $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ , точно так само, як і будь-яке інше введення.

Зсуви на величину, кратну $\frac{\pi}{2}$ , опрацьовуються формулами зведення. Загалом калькулятор приймає будь-який кут вигляду $kx + m\cdot\frac{\pi}{2}$ із цілими $k$ і $m$ . Половинні кути на зразок $\frac{x}{2}$ і довільні зсуви на зразок $x + 1$ не зводяться до многочленів від $\sin x$ і $\cos x$ , тому калькулятор відхиляє їх із поясненням, а не видає ненадійне доведення.

Калькулятор працює з однією змінною. Формула додавання на зразок $\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$ містить два незалежні кути й виходить за межі його можливостей; він повідомляє про це, а не намагається її довести.

Як спростувати рівність

Якщо чисельник не зводиться до нуля, рівність не є тотожністю. Щоб це було наочно, калькулятор обчислює обидві частини для контрольного кута й показує, що вони різні. Для класичної помилки $\sin 2x = 2\sin x$ він вказує, що при $x = 30°$ ліва частина приблизно дорівнює $0.866$ , а права — $1$ .

Одного контрприкладу досить, щоб спростувати тотожність, але жодна кількість відповідних прикладів не може її довести. Два вирази можуть випадково збігатися для багатьох кутів. Тому доведення калькулятора алгебраїчне, і тому перевірка кількох значень за графіком — це контроль, а не доведення.

Спрощення виразів

Без знака рівності калькулятор записує вираз через синус і косинус, зводить усе до одного дробу, застосовує основну тригонометричну тотожність і скорочує спільні множники. Потім він порівнює результат із відомими формами. Для $\tan x + \cot x$ дріб $\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}$ перетворюється на $\frac{1}{\sin x\cos x}$ , який він розпізнає як $\sec x\csc x$ .

У тригонометрії майже ніколи не буває єдиного правильного спрощеного вигляду. $\sec x\csc x$ , $\frac{1}{\sin x\cos x}$ і $\frac{2}{\sin 2x}$ рівносильні. Калькулятор обирає звичну компактну форму, а кроки показують проміжні дроби, тож можна зупинитися на тому варіанті, якого вимагає ваш курс.

Як записати доведення вручну

Багато вчителів вимагають перетворювати одну частину на іншу, а не віднімати частини, бо одночасна робота з обома частинами може приховати недопустимі кроки на зразок піднесення до квадрата. Кроки калькулятора легко перекласти в такий стиль. Почніть зі складнішої частини, запишіть її через синус і косинус, зведіть дроби до спільного знаменника, застосуйте $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ у потрібному напрямку й спрощуйте, доки не дійдете до іншої частини.

Корисні прийоми — множення на спряжений вираз, наприклад під час доведення $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ , розкладання різниці квадратів, як у $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$ , і розбиття дробу на кілька доданків. Калькулятор підтверджує, що обидві тотожності правильні, тож ви можете зосередитися на чіткому викладі міркувань.

Типові помилки

Плутати $\sin 2x$ із $2\sin x$ ; формула подвійного кута дає $2\sin x\cos x$ .
Писати $\sin(a + b) = \sin a + \sin b$ ; тригонометричні функції не адитивні.
Скорочувати доданки в сумах, наприклад спрощувати $\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$ до $1 + \cos x$ .
Підносити обидві частини до квадрата під час доведення, через що хибне твердження може стати правильним.
Перевірити кілька кутів і вважати тотожність доведеною.

Поради

Починайте зі складнішої частини: там є що спрощувати.
Зводьте все до синуса й косинуса, якщо інший крок не напрошується.
Після зведення дробів шукайте в чисельнику приховане $\sin^2 x + \cos^2 x$ .
Множте на спряжений вираз, якщо в знаменнику стоїть $1 \pm \sin x$ або $1 \pm \cos x$ .
Перш ніж витрачати час на доведення, перевірте тотожність для кута на зразок $30°$ .
Скористайтеся калькулятором одиничного кола, щоб швидко обчислити обидві частини для особливих кутів.

Поширені запитання

Як калькулятор доводить тотожність?

Він записує обидві частини через синус і косинус, віднімає їх зі спільним знаменником і замінює cos²x на 1 − sin²x. Якщо чисельник перетворюється на нуль, тотожність правильна скрізь, де обидві частини визначені.

Що буде, якщо моя рівність не є тотожністю?

Калькулятор повідомить про це й наведе контрприклад — кут, за якого частини мають різні значення, наприклад x = 30° для sin 2x = 2 sin x.

Чи спрощує він тригонометричний вираз без знака рівності?

Так. Введіть лише вираз. Його буде зведено до одного дробу, спрощено за допомогою sin²x + cos²x = 1 і порівняно з відомою формою; так tan x + cot x перетворюється на sec x csc x.

Які кути допускаються?

Кути вигляду kx плюс величина, кратна π/2, із цілим k, наприклад 2x, 3x або x + π/2. Половинні кути на зразок x/2 і вирази з двома змінними не допускаються, і калькулятор пояснює чому.

Чому у відповіді сказано «де обидві частини визначені»?

Деякі тотожності містять функції, не визначені для певних кутів, наприклад tan x при 90°. Тотожність має виконуватися лише там, де існують обидві частини.

Чи доведе він sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y?

Ні. У цій формулі дві незалежні змінні, а калькулятор працює лише з однією. Він повідомить про це, а не намагатиметься її довести.

Як записати квадрат тригонометричної функції?

Підходить і sin(x)^2, і шкільний запис sin^2(x); калькулятор розуміє обидва як квадрат sin x, синуса x. Те саме стосується решти п'яти функцій.

Чи досить подивитися на графіки, щоб довести тотожність?

Ні. Графіки, що збігаються, переконливо свідчать на користь тотожності, але не доводять її. Для цього потрібне алгебраїчне обґрунтування, як у калькулятора; зате однієї розбіжності досить, щоб її спростувати.

Спробуйте калькулятор тригонометричних тотожностей

Введіть тотожність, щоб довести або спростувати її, або вираз, щоб спростити його покроково.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Калькулятор тригонометричних тотожностей