Теорема косинусів

Q: Коли застосовується теорема косинусів?

Коли відомі дві сторони й кут між ними або всі три сторони. У цих випадках жодна сторона не відома разом із протилежним кутом, тому почати з теореми синусів не можна.

Q: Як знайти кут за теоремою косинусів?

Виразіть із формули косинус, cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), підставте три довжини сторін і візьміть арккосинус.

Q: Як пов'язані теорема косинусів і теорема Піфагора?

Якщо кут C дорівнює рівно 90°, то cos C дорівнює 0, і формула перетворюється на c² = a² + b². Теорема косинусів — загальна форма, правильна для будь-якого трикутника.

Q: Що буде, якщо три сторони не утворюють трикутник?

Калькулятор перевіряє нерівність трикутника й виводить помилку, якщо одна сторона не менша за суму двох інших, наприклад для сторін 1, 2 і 5.

Q: Результати точні чи заокруглені?

Якщо третя сторона — квадратний корінь, вона виводиться в точній формі, наприклад √39 або 2√19, разом із десятковим значенням. Кути подаються в десяткових градусах.

Q: Як обчислюється площа?

За формулою площа = ½ab sin C через дві сторони й кут між ними. У режимі трьох сторін кут спочатку обчислюється.

Q: Чи може теорема косинусів дати два трикутники?

Ні. Дві сторони з кутом між ними або три сторони завжди задають рівно один трикутник. Неоднозначний випадок із двома можливими трикутниками трапляється лише за двох сторін і кута, протилежного одній із них, коли застосовують теорему синусів.

Про калькулятор теореми косинусів

Прямокутні трикутники розв'язуються теоремою Піфагора й простою тригонометрією, але більшість трикутників у геодезії, навігації, техніці та фізиці прямого кута не мають. Теорема косинусів узагальнює теорему Піфагора на будь-який трикутник; це відповідний інструмент, коли відомі дві сторони й кут між ними або всі три сторони й жодного кута.

Калькулятор розбирає обидва випадки. У режимі «дві сторони й кут між ними» він знаходить третю сторону, зберігаючи точний корінь на зразок $\sqrt{39}$ , якщо він є, а потім два інші кути. У режимі «три сторони» він перевіряє, чи можуть сторони утворити трикутник, і знаходить усі три кути. В обох режимах він завершує обчисленням площі.

Що таке теорема косинусів?

У трикутнику зі сторонами $a$ , $b$ і $c$ , що лежать проти кутів $A$ , $B$ і $C$ , теорема косинусів стверджує: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . Те саме співвідношення правильне для кожної сторони й протилежного їй кута.

При $C = 90°$ маємо $\cos C = 0$ , і формула перетворюється на $c^2 = a^2 + b^2$ — теорему Піфагора. Додатковий член $-2ab\cos C$ вносить поправку залежно від кута: він укорочує $c$ , якщо $C$ гострий, і подовжує, якщо $C$ тупий, бо косинус тупого кута від'ємний.

Як користуватися калькулятором теореми косинусів

Оберіть режим «Дві сторони й кут між ними» або «Три сторони».
Введіть сторони $a$ і $b$ .
У режимі двох сторін введіть кут $C$ між ними в градусах; у режимі трьох сторін введіть третю сторону $c$ .
Натисніть «Розв'язати трикутник», щоб побачити невідому сторону або кути, а потім площу.
Перевірте відповідь: сума кутів має дорівнювати 180°, а найбільший кут має лежати проти найбільшої сторони.

Формули

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Вираз для кута

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Сума кутів

A + B + C = 180^\circ

Площа за двома сторонами й кутом

K = \tfrac12 ab\sin C

Розв'язаний приклад: a = 5, b = 7, C = 60°

У прикладі $a = 5$ , $b = 7$ , а кут між ними $C = 60°$ . Оскільки $\cos 60° = \frac12$ , формула дає $c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$ , тобто $c = \sqrt{39} \approx 6.245$ .

Потім алгоритм знаходить кут $A$ за теоремою косинусів, вираженою через косинус, — приблизно $43.898°$ , а кут $B$ за сумою кутів — приблизно $76.102°$ . Площа дорівнює $\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

Як ми зрозуміли вашу задачу

Дві сторони й кут між ними: знаходимо третю сторону й інші кути

Покроковий розв'язок

Підставляємо в c² = a² + b² − 2ab·cos C
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
Добуваємо квадратний корінь
$c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
Знаходимо кут A за перетвореною теоремою косинусів
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
Сума кутів трикутника дорівнює 180°
$B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
Площа за двома сторонами й кутом між ними
$\text{Площа} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$

Використані формули

Теорема косинусів
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Вираз для кута
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
Площа
$\text{Площа} = \tfrac12 ab\sin C$

Сторони трикутника a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998, кути A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60°. Це гострокутний різносторонній трикутник із площею ≈ 15.155445 і периметром ≈ 18.244998.

Перевірка

A + B + C = 180°.
Формула Герона дає ту саму площу: 15.155445.
Відношення за теоремою синусів: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Докладне пояснення

Розв'язання трикутника за двома сторонами й кутом між ними

За двома сторонами й кутом між ними теорема косинусів одразу дає третю сторону. Можливий лише один трикутник, тож неоднозначності немає. Коли відомі всі три сторони, формула, виражена через косинус, дає кути один за одним. Для другого кута калькулятор застосовує теорему косинусів, а не теорему синусів, бо формула з косинусом не плутає гострий кут із суміжним із ним тупим.

Тупі кути між сторонами опрацьовуються так само. Для $a = 4$ , $b = 6$ і $C = 120°$ маємо $\cos 120° = -\frac12$ , тому $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$ і $c = 2\sqrt{19} \approx 8.718$ — більше за кожну з двох даних сторін, як і слід було очікувати.

Розв'язання трикутника за трьома сторонами

Три довжини утворюють трикутник, лише якщо сума будь-яких двох із них більша за третю: це нерівність трикутника. Калькулятор перевіряє її насамперед: сторони 1, 2 і 5 відхиляються, бо $1 + 2 < 5$ . Для допустимих сторін він обчислює кут $C$ , потім кут $A$ , обидва за формулою, вираженою через косинус, і знаходить $B$ за сумою кутів. Якщо ввести найбільшу сторону як $c$ , перший обчислений кут покаже, чи трикутник гострокутний, прямокутний або тупокутний: сторони 3, 4 і 5 дають $C = 90°$ .