Одиничне коло — точні значення синуса, косинуса й тангенса

Про калькулятор одиничного кола

Одиничне коло перетворює тригонометрію на координати. Кожному куту відповідає точка на колі радіуса 1, а косинус і синус кута — це просто $x$ -координата та $y$ -координата цієї точки. Запам'ятавши кілька особливих точок і користуючись симетрією, можна отримати точні значення для десятків кутів без калькулятора.

Цей калькулятор проводить ці міркування за вас. Він переводить кут із градусів у радіани чи навпаки, зводить його до одного оберту, визначає чверть і приведений кут і для табличних кутів знаходить точні значення на зразок $\frac{\sqrt3}{2}$ . Для всіх інших кутів він видає точні десяткові значення. Крім того, він показує тангенс, секанс, косеканс і котангенс і повідомляє, якщо якась із цих величин не визначена.

Що таке одиничне коло?

Одиничне коло — це коло $x^2 + y^2 = 1$ із центром у початку координат і радіусом 1. Кут $\theta$ відкладається від додатного напрямку осі $x$ : проти годинникової стрілки, якщо він додатний, і за годинниковою стрілкою, якщо від'ємний. Точка, у якій його кінцева сторона перетинає коло, — це $(\cos\theta, \sin\theta)$ .

Оскільки ця точка лежить на колі, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ для будь-якого кута: це основна тригонометрична тотожність. Тангенс — це відношення $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ , кутовий коефіцієнт кінцевої сторони, а обернені величини — $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ , $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ і $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ .

Як користуватися калькулятором одиничного кола

Введіть кут, наприклад 150, -30 або 5pi/4.
Оберіть градуси або радіани.
Натисніть «Знайти значення».
Перегляньте чверть, приведений кут і точні координати.
Скористайтеся значеннями тангенса й обернених величин під координатами.

Формули

Точка на одиничному колі

P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

З градусів у радіани

\theta_{\text{рад}} = \theta_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180}

Основна тригонометрична тотожність

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Тангенс

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Розв'язаний приклад: θ = 150°

У прикладі використано $\theta = 150°$ . Кут лежить у другій чверті, де $x$ від'ємний, а $y$ додатний, і його приведений кут дорівнює $180° - 150° = 30°$ .

Точка для $30°$ — це $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ . Враховуючи знаки другої чверті, отримуємо $(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , а поділивши синус на косинус — $\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3}$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

Як ми зрозуміли вашу задачу

Значення на одиничному колі для 150°

\theta = 150^\circ

Покроковий розв'язок

Переводимо градуси в радіани (множимо на π/180)
$\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{рад}$
Знаходимо кінцеву сторону кута: у другій чверті
У другій чверті синус додатний, а косинус від'ємний (правило знаків за чвертями).
Приведений кут (гострий кут із віссю x)
$\theta_{\text{пр}} = 30^\circ$
Знаходимо точні координати за приведеним кутом і враховуємо знаки чверті
$(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$
Тангенс = синус ÷ косинус
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Обернені тригонометричні величини
$\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}$

Використані формули

Точка на одиничному колі
$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$
Тангенс і обернені величини
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Градуси й радіани
$\text{рад} = \text{град} \times \frac{\pi}{180}$

150° (5π/6 рад) закінчується в другій чверті з приведеним кутом 30°. sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = −√3/3, csc θ = 2, sec θ = −2√3/3, cot θ = −√3.

Перевірка

cos²θ + sin²θ = 1 (має дорівнювати 1).

Докладне пояснення

Табличні кути

Три гострі кути мають прості точні значення. При $30°$ точка дорівнює $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , при $45°$ — $(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})$ , а при $60°$ — $(\frac12, \frac{\sqrt3}{2})$ . Ці значення беруться з трикутників із кутами 30-60-90 і 45-45-90 градусів. Разом із кутами на осях, $0°$ , $90°$ , $180°$ і $270°$ , вони дають шістнадцять відомих точок одиничного кола.

Приведений кут і знаки за чвертями

Кожен кут має приведений кут: гострий кут, який його кінцева сторона утворює з віссю $x$ . Координати кута за модулем збігаються з координатами приведеного кута; змінюються лише знаки залежно від чверті. У першій чверті додатні обидві координати, у другій — лише синус, у третій — лише тангенс, у четвертій — лише косинус. Так $\frac{5\pi}{4}$ , тобто $225°$ у третій чверті з приведеним кутом $45°$ , дає точку $(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$ .

Кути, більші за повний оберт, і від'ємні кути спочатку зводяться до кута з тією самою кінцевою стороною додаванням або відніманням $360°$ . Калькулятор зводить $765°$ до $45°$ , а $-30°$ розглядає як $330°$ у четвертій чверті, де точка дорівнює $(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12)$ .

Невизначені значення та інші кути

Тангенс і секанс містять ділення на косинус, тому вони не визначені, коли кінцева сторона вертикальна, — при $90°$ і $270°$ . Котангенс і косеканс містять ділення на синус і не визначені при $0°$ і $180°$ . Калькулятор повідомляє про ці випадки, а не виводить безглузде число.

Більшість кутів, наприклад $20°$ , не мають простого виразу через корені. Для них калькулятор видає десяткові значення, але, як і раніше, використовує чверть і приведений кут, щоб було зрозуміло, звідки беруться знаки.

Типові помилки

Плутати координати: косинус — це $x$ -координата, синус — $y$ -координата.
Використовувати режим градусів для кута з $\pi$ або режим радіанів для кута в градусах.
Відкладати приведений кут від осі $y$ , а не від осі $x$ .
Брати знак з іншої чверті; запам'ятайте, які функції додатні в якій чверті.
Записувати $\tan 90°$ як дуже велике число замість того, щоб зазначити, що значення не визначене.

Поради

Вивчіть значення при $30°$ , $45°$ і $60°$ ; усе інше випливає із симетрії.
Рахуйте кратними $\frac{\pi}{6}$ і $\frac{\pi}{4}$ , щоб швидко знаходити положення кутів у радіанах.
За потреби позбувайтеся ірраціональності в знаменнику: $\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ .
Перевіряйте результати рівністю $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ .
Скористайтеся калькулятором тригонометричних тотожностей, щоб доводити співвідношення між цими функціями.

Поширені запитання

Які координати точки на одиничному колі?

Для кута θ точка дорівнює (cos θ, sin θ). Координата x — це косинус, а координата y — синус.

Як знайти приведений кут?

Зведіть кут до значення від 0° до 360° і виміряйте гострий кут із віссю x: θ у першій чверті, 180° − θ у другій, θ − 180° у третій і 360° − θ у четвертій.

Чи можна вводити кути в радіанах?

Так. Оберіть радіани й вводьте вирази на зразок pi/3 або 5pi/4. У кроках калькулятор переводить радіани в градуси.

Чому tan 90° не визначений?

Тангенс — це синус, поділений на косинус, а cos 90° = 0. Ділення на нуль не визначене, тому tan 90° і sec 90° не мають значення.

Чи приймає калькулятор від'ємні кути й кути, більші за 360°?

Так. Він зводить їх до кута з тією самою кінцевою стороною в межах одного оберту. Так 765° зводиться до 45°, а −30° розглядається як 330°.

А як щодо кутів, які не є табличними?

Для кутів на зразок 20° простої точної форми немає: калькулятор показує десяткові значення й однаково пояснює чверть і приведений кут.

Які тригонометричні функції додатні в кожній чверті?

У першій чверті додатні всі; у другій — синус і косеканс; у третій — тангенс і котангенс; у четвертій — косинус і секанс.

Як запам'ятати знаки за чвертями?

Обходьте чверті проти годинникової стрілки, починаючи з першої: у першій додатні всі функції, у другій — синус, у третій — тангенс, у четвертій — косинус. Калькулятор називає це правило на кроці з чвертю, щоб кожен знак можна було пов'язати з його чвертю.

Спробуйте калькулятор одиничного кола

Введіть кут і отримайте його точку, точні значення тригонометричних функцій і приведений кут.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Калькулятор одиничного кола