Калькулятор НСК

Q: Як знайти НСК трьох чисел?

Об'єднуйте числа попарно: lcm(8, 12) = 24, а потім lcm(24, 15) = 120. Або візьміть кожен простий множник у найбільшому степені: 2^3 × 3 × 5 = 120.

Про калькулятор НСК

Найменше спільне кратне набору цілих чисел — це найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з них. Під час додавання дробів воно слугує найменшим спільним знаменником, а в багатьох задачах про розклади та повторювані події дає відповідь.

Цей інструмент будує НСК із розкладання на прості множники й підтверджує його тотожністю $\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{|ab|}{\gcd(a,b)}$ .

Що таке найменше спільне кратне?

Кратні числа отримують, множачи його на 1, 2, 3 і так далі: кратні 12 — це 12, 24, 36, 48 тощо, кратні 18 — це 18, 36, 54 тощо. Спільне кратне є в обох списках, а найменше спільне кратне — перше з них, тут 36.

Два натуральні числа мають нескінченно багато спільних кратних, і всі вони кратні НСК. НСК ніколи не менше за найбільше число списку й ніколи не більше за добуток усіх чисел; воно дорівнює цьому добутку, коли числа не мають спільних простих множників.

Як користуватися калькулятором НСК

Введіть від двох до десяти цілих чисел через кому або пробіл.
Натисніть «Знайти НСК».
Перегляньте розкладання кожного числа на прості множники та найбільший степінь кожного простого множника, узятий у відповідь.

Формули

Через розкладання на прості множники

\operatorname{lcm} = \prod p^{\max(e_1, e_2, \ldots)}

Через НСД

\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

Більше двох чисел

\operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c)

Розв'язаний приклад: 12, 18

У розв'язаному прикладі шукається НСК чисел 12 і 18. Розкладання на прості множники: $12 = 2^2 \times 3$ і $18 = 2 \times 3^2$ . Оскільки $\gcd(12, 18) = 6$ , тотожність дає $\frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$ . Якщо взяти кожен простий множник у найбільшому степені, $2^2 \times 3^2 = 36$ , вийде та сама відповідь, а перевірка підтверджує, що 36 ділиться без остачі і на 12, і на 18.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

36

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знаходимо найменше спільне кратне (НСК) чисел.

Покроковий розв'язок

Розкладання кожного числа на прості множники
$12 = 2^{2} \times 3,\quad 18 = 2 \times 3^{2}$
Об'єднуємо 12 і 18 за допомогою НСД
$\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{\gcd(12, 18)} = \frac{216}{6} = 36$
Перевіряємо через прості множники
Беремо кожен простий множник, що трапляється, у найбільшому степені.
$2^{2} \times 3^{2} = 36$

Використані формули

НСК через НСД
$\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}$

36 — найменше додатне число, яке ділиться без остачі на кожне з введених чисел.

Перевірка

36 ÷ 12 = 3
36 ÷ 18 = 2

Докладне пояснення

Чому беруться найбільші степені

Число, кратне 12, має містити серед простих множників $2^2$ і 3, а число, кратне 18, — 2 і $3^2$ . Щоб ділитися на обидва числа, потрібно $2^2$ , щоб покрити 12, і $3^2$ , щоб покрити 18, і більше нічого. Тому взяти кожен простий множник у найбільшому степені — мінімальний вибір, що покриває всі числа, а це і є означення найменшого спільного кратного.

НСК для дробів і розкладів

Найменший спільний знаменник двох дробів — це НСК їхніх знаменників. Щоб обчислити $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$ , обидва дроби зводять до знаменника 36, і числа виходять меншими, ніж зі знаменником $12 \times 18 = 216$ . НСК розв'язує й задачі про розклади: якщо один автобус вирушає кожні 8 хвилин, другий кожні 12, а третій кожні 15, то знову одночасно вони вирушать через $\operatorname{lcm}(8, 12, 15) = 120$ хвилин.

Якщо в списку є 0, калькулятор за домовленістю повертає 0 і пояснює, що 0 кратний будь-якому цілому числу, адже в такому разі спільного натурального кратного немає.

Як пов'язані НСК і НСД

Для двох натуральних чисел добуток НСД і НСК завжди дорівнює добутку самих чисел. Причину видно з розкладання на прості множники: для кожного простого множника НСД бере менший показник, а НСК — більший, тож разом вони використовують кожен показник рівно один раз. Для 12 і 18 НСД 6 і НСК 36 у добутку дають 216, тобто $12 \times 18$ . Цю тотожність не можна безпосередньо перенести на три й більше чисел, тому калькулятор об'єднує їх попарно.

Типові помилки

Перемножувати всі числа: так виходить спільне кратне, але часто не найменше.
Брати кожен простий множник у найменшому степені; для НСК потрібен найбільший.
Плутати НСК і НСД: НСК не менше за найбільше з чисел.
Виписувати лише кратні найбільшого числа й брати перше, не перевіривши його подільність на інші.

Поради

Якщо одне число кратне всім іншим, воно і є НСК.
Якщо числа взаємно прості, НСК дорівнює їхньому добутку.
Використовуйте НСК знаменників як найменший спільний знаменник під час додавання дробів.
Перевірте НСК, поділивши його на кожне число: усі частки мають бути цілими.
Для двох чисел спершу знайдіть НСД; поділити їхній добуток на цей НСД зазвичай найшвидше.
Для малих чисел випишіть кілька кратних найбільшого числа й перевірте кожне на подільність на інші; перше відповідне і є НСК.

Поширені запитання

Що таке найменше спільне кратне?

Це найменше натуральне число, яке ділиться без остачі на кожне з чисел. НСК чисел 4, 6 і 10 дорівнює 60.

Як пов'язані НСК і НСД?

Для двох натуральних чисел їхній добуток дорівнює добутку НСД і НСК, тому $\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{ab}{\gcd(a,b)}$ .

Коли потрібне НСК?

Щоб додавати або віднімати дроби з різними знаменниками, а також у задачах про те, коли повторювані події знову збіжаться.

Чому дорівнює НСК, якщо одне з чисел дорівнює 0?

Нуль кратний будь-якому числу, але НСК визначають як найменше додатне спільне кратне, тому за домовленістю $\operatorname{lcm}(a, 0) = 0$ .

Чи може НСК бути меншим за самі числа?

Ні. НСК завжди не менше за найбільший модуль у списку (якщо в ньому немає 0).

Чи приймає калькулятор від'ємні числа?

Так. Знак не змінює кратних: НСК знаходять за модулями чисел і записують додатним числом.

Як знайти НСК трьох чисел?

Об'єднуйте числа попарно: $\operatorname{lcm}(8, 12) = 24$ , а потім $\operatorname{lcm}(24, 15) = 120$ . Або візьміть кожен простий множник у найбільшому степені: $2^3 \times 3 \times 5 = 120$ .

Чим НСК відрізняється від найменшого спільного знаменника?

Найменший спільний знаменник — це просто НСК знаменників дробів. Для $\frac{5}{12}$ і $\frac{7}{18}$ він дорівнює $\operatorname{lcm}(12, 18) = 36$ .

Спробуйте калькулятор НСК

Введіть свої числа та перегляньте розкладання на прості множники й перевірку.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Про калькулятор НСК

Що таке найменше спільне кратне?

Як користуватися калькулятором НСК

Формули

Через розкладання на прості множники

Через НСД

Більше двох чисел

Розв'язаний приклад: 12, 18

Відповідь

Як ми зрозуміли вашу задачу

Покроковий розв'язок

Використані формули

Перевірка

Докладне пояснення

Чому беруться найбільші степені

НСК для дробів і розкладів

Як пов'язані НСК і НСД

Типові помилки

Поради

Поширені запитання

Що таке найменше спільне кратне?

Як пов'язані НСК і НСД?

Коли потрібне НСК?

Чому дорівнює НСК, якщо одне з чисел дорівнює 0?

Чи може НСК бути меншим за самі числа?

Чи приймає калькулятор від'ємні числа?

Як знайти НСК трьох чисел?

Чим НСК відрізняється від найменшого спільного знаменника?

Спробуйте калькулятор НСК

Інші математичні калькулятори