Перейти до вмісту
MathSolver Pro
  • Відкрити розв’язувач
  • Запитати ШІ-репетитора
  • Знайти курс AP
  • Створити тест
  • Відкрити калькулятор
  • Графічний калькулятор
  • Усі калькулятори
  • Читати посібники з математики
↑ ↓Enter — відкрити · Esc — закрити
Розв’язати задачу

Калькулятор оберненої матриці

Введіть квадратну матрицю, щоб знайти обернену в точних дробах — за коротким правилом для матриць 2×2 або методом Гаусса — Жордана для [A | I], — і переконайтеся, що добуток A на обернену дає одиничну матрицю.

Один рядок матриці на рядок (або розділяйте рядки знаком ;). Елементи розділяйте пробілами або комами. Можна вводити дроби на зразок 1/2 і десяткові числа.

Приклади

Про калькулятор оберненої матриці

Обернена матриця відіграє ту саму роль, що ділення для чисел. Якщо Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}, то x=A−1b\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}: обернена матриця за один раз розв'язує всі системи з тією самою матрицею коефіцієнтів. Обернені матриці також використовують, щоб скасовувати перетворення в комп'ютерній графіці й розшифровувати повідомлення шифром Гілла, і вони всюди трапляються в статистиці, наприклад у формулі лінійної регресії за методом найменших квадратів.

Калькулятор спочатку перевіряє, що визначник не дорівнює нулю, адже лише тоді обернена матриця існує. Для матриці 2×22 \times 2 він застосовує швидке правило «переставити й змінити знаки». Для матриць більшого розміру він виконує метод Гаусса — Жордана для розширеної матриці [A∣I][A \mid I] і перелічує кожне перетворення рядків. Усі елементи — точні дроби, а на останньому кроці AA множиться на результат, щоб підтвердити, що виходить одинична матриця.

Що таке обернена матриця?

Обернена до квадратної матриці AA — це матриця A−1A^{-1}, для якої AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I, де II — одинична матриця. Якщо вона існує, то єдина, а матрицю називають оборотною або невиродженою.

Квадратна матриця оборотна тоді й лише тоді, коли її визначник не дорівнює нулю. Рівносильні умови: її рядки лінійно незалежні, її ранг дорівнює її розміру, а рівняння Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} має лише нульовий розв'язок. Неквадратна матриця ніколи не має двобічної оберненої.

Як користуватися калькулятором оберненої матриці

  1. Введіть квадратну матрицю, розділяючи елементи пробілами, а рядки крапками з комою, наприклад 4 7; 2 6.
  2. Натисніть «Знайти обернену матрицю».
  3. Подивіться на крок із визначником; якщо він дорівнює нулю, матриця не має оберненої.
  4. Стежте за перетвореннями рядків або правилом для 2×2 до отримання оберненої матриці.
  5. Перегляньте підсумкову перевірку: A·A⁻¹ дорівнює одиничній матриці.

Формули

Обернена до матриці 2×2

(abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Метод Гаусса — Жордана

[A∣I]  ⟶  [I∣A−1][A \mid I] \;\longrightarrow\; [I \mid A^{-1}]

Обернена до добутку

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

Розв'язування системи рівнянь

Ax=b  ⇒  x=A−1bA\mathbf{x} = \mathbf{b} \;\Rightarrow\; \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

Розв'язаний приклад: Матриця 2×2

У прикладі обертається матриця A=(4726)A = \begin{pmatrix}4 & 7\\2 & 6\end{pmatrix}. Її визначник дорівнює 4⋅6−7⋅2=104 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10, тобто не дорівнює нулю, тому обернена існує.

Переставивши діагональні елементи, змінивши знак у двох інших і поділивши на 10, отримуємо (35−710−1525)\begin{pmatrix}\frac35 & -\frac{7}{10}\\-\frac15 & \frac25\end{pmatrix}. Множення цього результату на AA дає одиничну матрицю, що підтверджує останній крок.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

A−1=[35−710−1525]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

Як ми зрозуміли вашу задачу

Знаходимо обернену до матриці 2×2.

[4726]−1\begin{bmatrix}4 & 7 \\ 2 & 6\end{bmatrix}^{-1}

Покроковий розв'язок

  1. Перевіряємо, що визначник не дорівнює нулю

    det⁡A=10≠0\det A = 10 \neq 0

  2. Міняємо місцями a і d, змінюємо знак у b і c, ділимо на визначник

    A−1=110[6−7−24]=[35−710−1525]A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix}6 & -7 \\ -2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

  3. Перевірка: A·A⁻¹ = I

    AA−1=[1001]A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

Використані формули

  • Обернена до матриці 2×2

    [abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

  • Метод Гаусса — Жордана

    [A∣I]∼[I∣A−1][A \mid I] \sim [I \mid A^{-1}]

Визначник дорівнює 10, тому A оборотна. Усі елементи оберненої матриці точні.

Перевірка

  • Множення A на результат дає точно одиничну матрицю.

Докладне пояснення

Метод Гаусса — Жордана

Для матриці 3×33 \times 3 і більших запишіть поруч AA і одиничну матрицю й застосовуйте перетворення рядків до всієї розширеної матриці. Діліть кожен провідний рядок так, щоб провідний елемент став рівним 1, а потім виключайте всі інші елементи цього стовпця. Коли ліва половина перетвориться на одиничну матрицю, права половина буде A−1A^{-1}: та сама послідовність перетворень, що переводить AA в II, переводить II в A−1A^{-1}.

Для матриці з рядками (2,0,1)(2, 0, 1), (1,1,0)(1, 1, 0) і (0,1,3)(0, 1, 3) калькулятор ділить перший рядок на 2, виключає елементи першого, а потім другого стовпця, ділить третій рядок на 72\frac72 і виключає елементи третього стовпця. Усі елементи оберненої матриці кратні 17\frac17, бо визначник дорівнює 7.

Необоротні матриці

Якщо визначник дорівнює нулю, виключення дає зліва нульовий рядок і ніколи не приводить до одиничної матриці. Калькулятор помічає це на самому початку. Матриця (1224)\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix} необоротна, бо її другий рядок удвічі більший за перший: калькулятор повідомляє, що оберненої немає, а не показує безглузду відповідь.

Просто малий визначник у точній арифметиці не проблема, але для реальних даних це тривожний знак: обернена матриця тоді має великі елементи, і малі похибки вимірювань в AA сильно посилюються.

Як використовувати обернену матрицю

Щоб розв'язати Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}, помножте A−1A^{-1} на b\mathbf{b}. Це вигідно, коли кілька систем мають ту саму матрицю. Для однієї системи зазвичай простіше одразу перетворити розширену матрицю [A∣b][A \mid \mathbf{b}], ніж спочатку знаходити повну обернену.

Коротке правило для матриць 2×22 \times 2 — не окремий трюк: це саме те, що дає метод Гаусса — Жордана, якщо застосувати його в загальному вигляді до довільної матриці 2×22 \times 2. Те, що визначник ad−bcad - bc стоїть у знаменнику кожного елемента, пояснює, чому за нульового визначника обернена неможлива.

Типові помилки

  • Забувати ділити на визначник у формулі для 2×2.
  • Переставляти позадіагональні елементи замість зміни їхнього знака.
  • Застосовувати перетворення рядків лише до лівої половини розширеної матриці.
  • Писати (AB)−1=A−1B−1(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}; порядок змінюється на протилежний.
  • Намагатися обернути матрицю з нульовим визначником.

Поради

  • Спочатку знайдіть визначник; якщо він дорівнює нулю, на цьому можна зупинитися.
  • Тримайте елементи у вигляді дробів, щоб похибки заокруглення не зіпсували перевірку з одиничною матрицею.
  • Перевіряйте результат, множачи AA на свою відповідь; кожен діагональний елемент має дорівнювати 1, а кожен інший — 0.
  • Шукайте визначник у знаменниках елементів оберненої матриці.
  • Використовуйте матричний калькулятор, щоб помножити обернену матрицю на вектор правої частини.

Поширені запитання

Як знайти обернену до матриці 2×2?

Поміняйте місцями два діагональні елементи, змініть знак у двох інших і поділіть кожен елемент на визначник ad − bc.

Як знайти обернену до матриці 3×3?

Запишіть розширену матрицю [A | I] і перетвореннями рядків зведіть ліву половину до одиничної матриці. Тоді права половина буде оберненою.

Коли матриця не має оберненої?

Коли її визначник дорівнює нулю. Таку матрицю називають виродженою або необоротною; її рядки лінійно залежні, і виключення не може привести до одиничної матриці.

Як перевірити обернену матрицю?

Помножте вихідну матрицю на обернену. Якщо вийшла одинична матриця, обернену знайдено правильно. Калькулятор робить це автоматично.

Чи має обернену неквадратна матриця?

Ні. Справжню двобічну обернену можуть мати лише квадратні матриці.

Чи можна вводити десяткові числа?

Так. Десяткові числа перетворюються на точні дроби: 0,5 обробляється як 1/2, а обернена обчислюється точно.

Яка матриця обернена до одиничної?

Сама одинична матриця, бо множення її на себе нічого не змінює.

Спробуйте калькулятор оберненої матриці

Введіть квадратну матрицю й отримайте її точну обернену з кожним перетворенням рядків і підсумковою перевіркою.

Відкрити калькуляторЗапитати ШІ-розв'язувач

Інші математичні калькулятори

Матричний калькуляторЛінійна алгебраКалькулятор визначниківЛінійна алгебраКалькулятор власних значеньЛінійна алгебраКалькулятор скалярного добуткуЛінійна алгебраКалькулятор векторного добуткуЛінійна алгебраКалькулятор дробівЗагальна математика