Як знайти обернену матрицю

Що таке обернена матриця?

Для чисел обернене до 5 дорівнює $\frac{1}{5}$, бо $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$. Для матриць ділення немає, але та сама ідея працює. Обернена до квадратної матриці $A$ — це матриця $A^{-1}$, для якої виконується:

Тут $I$ — одинична матриця, матричний відповідник числа 1. Якщо $A$ описує відображення, наприклад поворот і розтяг площини, то $A^{-1}$ — відображення, яке повертає все у вихідне положення. Обернену можуть мати лише квадратні матриці, і не всі з них її мають. Матрицю, що має обернену, називають оборотною або невиродженою; матрицю без оберненої — виродженою.

Критерій — визначник: $A$ оборотна тоді й лише тоді, коли $\det(A) \ne 0$. Нульовий визначник означає, що матриця стискає простір до меншої розмірності: різні входи потрапляють в один і той самий вихід, і відображення не можна обернути.

Формула для матриць 2 на 2

Для матриці $2 \times 2$ є коротка формула: поміняйте місцями елементи головної діагоналі, змініть знак двох інших і поділіть на визначник.

Натомість у $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ визначник дорівнює $4 - 4 = 0$. Її перший рядок удвічі більший за другий: оберненої вона не має, і формула змусила б вас ділити на нуль.

Метод Гаусса — Жордана для будь-якого розміру

Для матриць $3 \times 3$ і більших стандартним є метод Гаусса — Жордана. Запишіть $A$ та одиничну матрицю поруч у розширену матрицю $[A \mid I]$. Елементарними перетвореннями рядків перетворіть ліву половину на $I$. Ті самі перетворення перетворять праву половину на $A^{-1}$. Якщо ліворуч з'явиться нульовий рядок, матриця вироджена й оберненої не має.

Визначник цієї матриці випадково дорівнює 1, тому її обернена містить лише цілі числа. Більшість обернених матриць містять дроби: увесь час працюйте з дробами, а не із заокругленими десятковими.

Формула через приєднану матрицю

Є й формула, що узагальнює правило для $2 \times 2$. Замініть кожен елемент його алгебраїчним доповненням — мінором зі знаком, отриманим викресленням рядка й стовпця цього елемента: так ви отримаєте матрицю алгебраїчних доповнень. Потім транспонуйте її, щоб отримати приєднану матрицю $\operatorname{adj}(A)$:

Ця формула корисна в теорії й для матриць $3 \times 3$ із простими елементами, але для матриці $3 \times 3$ їй потрібно дев'ять визначників $2 \times 2$, а обсяг роботи зі зростанням розміру збільшується дуже швидко. Для будь-якої більшої матриці практичним вибором залишається метод Гаусса — Жордана.

Розв'язування систем за допомогою оберненої матриці

Систему лінійних рівнянь вигляду $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ розв'язують, множачи обидві частини зліва на $A^{-1}$, що дає $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$. Це відповідник розв'язування $5x = 10$ діленням на 5.

Спосіб особливо зручний, коли треба розв'язати кілька систем з однаковими коефіцієнтами, але різними правими частинами: обернену матрицю обчислюють лише один раз. Для однієї системи метод Гаусса зазвичай швидший, як пояснює посібник із розв'язування систем рівнянь.

Властивості оберненої матриці

• Обернена до добутку змінює порядок на протилежний — так само, як ви спочатку знімаєте взуття, а потім шкарпетки, у порядку, оберненому до вдягання.
• Якщо $A$ оборотна, її обернена єдина.
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• Для ненульового числа $k$ виконується $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$.
• Діагональну матрицю з ненульовими діагональними елементами обертають, беручи обернене до кожного діагонального елемента.

Обернена матриця на практиці

Обернені матриці незамінні в теорії й трапляються в комп'ютерній графіці, де скасування перетворення камери рівносильне застосуванню оберненого до нього; у криптографії, де шифр Гілла розшифровує повідомлення за допомогою оберненої матриці; і в статистиці, де формула методу найменших квадратів для регресії містить обернену матрицю.

Проте чисельні програми рідко явно обчислюють обернену матрицю лише заради розв'язування системи. Методи на основі виключення Гаусса швидші й менше потерпають від похибок заокруглення, особливо для майже вироджених матриць із визначником, близьким до нуля. Калькулятор оберненої матриці показує кожен крок методу Гаусса — Жордана з точними дробами, а за допомогою калькулятора матриць можна перевірити, чи справді $AA^{-1}$ дорівнює одиничній матриці.

Чому працює формула для 2 на 2

Формулу легко перевірити, а розуміючи, чому вона працює, її простіше запам'ятати. Помножте вихідну матрицю на матрицю, у якій діагональ переставлено, а решту елементів узято з протилежним знаком:

Результат — визначник, помножений на одиничну матрицю. Поділивши на визначник, отримуємо рівно одиничну матрицю, а саме це й має давати обернена. Це обчислення показує й те, чому нульовий визначник фатальний: добуток тоді стає нульовою матрицею, і жодне масштабування не перетворить її на одиничну.

Типові помилки під час обертання

• У формулі для $2 \times 2$ змінювати знак діагональних елементів замість того, щоб переставляти їх.
• Забути наприкінці поділити на визначник.
• Застосувати перетворення рядка до лівої половини $[A \mid I]$, але не до правої.
• Множити $\mathbf{b}$ не з того боку: розв'язок дорівнює $A^{-1}\mathbf{b}$, а $\mathbf{b}A^{-1}$ у загальному випадку навіть не визначений.
• Надто рано заокруглювати дроби до десяткових, через що підсумкова перевірка вже не дає точно одиничну матрицю.

Усі ці помилки виявляє та сама звичка: помножте результат на вихідну матрицю, перш ніж рухатися далі. Перевірка займає хвилину й коштує значно дешевше, ніж потім переробляти все обчислення.

Вправи

Спробуйте розв'язати їх, перш ніж дивитися відповіді. Спочатку оберніть матрицю з рядками $(2, 1)$ і $(5, 3)$. Її визначник дорівнює $6 - 5 = 1$: отже, обернена — це просто матриця з переставленою діагоналлю й протилежними знаками в інших елементів, з рядками $(3, -1)$ і $(-5, 2)$. Потім з'ясуйте, чи оборотна матриця з рядками $(3, 6)$ і $(1, 2)$. Її визначник дорівнює $6 - 6 = 0$: вона вироджена. Далі оберніть діагональну матрицю з 2, 4 і 5 на діагоналі: обернена має на діагоналі одну другу, одну четверту й одну п'яту. Нарешті, використайте перший розв'язок, щоб розв'язати $2x + y = 4$ і $5x + 3y = 11$: помноживши обернену матрицю на праву частину, отримуємо $x = 3(4) - 11 = 1$ і $y = -5(4) + 2(11) = 2$, і обидва рівняння виконуються.

Поширені запитання