Власні значення й власні вектори на прикладах

Визначальне рівняння

Більшість векторів змінюють напрям після множення на матрицю. Деякі особливі вектори — ні: матриця лише розтягує, стискає чи віддзеркалює їх уздовж тієї самої прямої. Це власні вектори, а множник, на який множиться кожен із них, — його власне значення. У символах ненульовий вектор $\mathbf{v}$ є власним вектором квадратної матриці $A$ із власним значенням $\lambda$, якщо:

Нульовий вектор виключено, бо він задовольняв би рівняння за будь-якого $\lambda$. А от власні значення можуть бути нульовими, від'ємними й навіть комплексними. Власне значення 2 означає, що вектори цього напряму подвоюють довжину, $-1$ — що вони змінюють напрям на протилежний, а 0 — що вони стискаються в нульовий вектор, що відбувається тоді й лише тоді, коли матриця вироджена.

Знаходження власних значень через характеристичне рівняння

Запишіть рівняння у вигляді $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Щоб існував ненульовий розв'язок, матриця $A - \lambda I$ має бути виродженою, тобто її визначник має дорівнювати нулю. Так отримуємо характеристичне рівняння:

Для матриці $n \times n$ це поліноміальне рівняння степеня $n$ відносно $\lambda$: отже, власних значень $n$, якщо рахувати з кратністю й допускати комплексні. Для матриці $2 \times 2$ многочлен квадратний, і його можна розв'язати методами зі статті як розв'язувати квадратні рівняння.

Повний приклад 2 на 2

Будь-яке ненульове кратне власного вектора теж є власним вектором: $(3, 3)$ чи $(-2, 4)$ були б так само правильними відповідями. Важить напрям, а не довжина. Зауважте також, що в обох випадках рядки $A - \lambda I$ були пропорційні. Це гарантовано, якщо $\lambda$ справді власне значення, і є чудовою перевіркою обчислень.

Два скорочення: слід і визначник

Власні значення будь-якої квадратної матриці пов'язані з двома числами, які легко знайти. Їхня сума дорівнює сліду, тобто сумі діагональних елементів, а їхній добуток дорівнює визначнику:

У прикладі 1 слід дорівнює $4 + 3 = 7 = 5 + 2$, а визначник $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$. Для матриці $2 \times 2$ це означає, що характеристичне рівняння завжди має вигляд $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$, тож визначник не треба розкривати вручну. З трикутними матрицями ще простіше: їхні власні значення — це просто діагональні елементи.

Комплексні й кратні власні значення

Матриця повороту $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ повертає кожен вектор на 90 градусів: жоден дійсний напрям не залишається на своїй прямій. Її характеристичне рівняння $\lambda^2 + 1 = 0$ дає комплексні власні значення $\lambda = \pm i$. Комплексні власні значення дійсної матриці завжди з'являються спряженими парами й указують на поворот.

Власні значення можуть бути й кратними. Матриця $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ має двократне власне значення 2, але $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ змушує $y = 0$: єдині власні вектори — кратні $(1, 0)$. Така матриця, що має менше лінійно незалежних власних векторів, ніж її розмір, не діагоналізовна. Одинична матриця, навпаки, теж має кратне власне значення 1, але будь-який ненульовий вектор є її власним вектором.

Симетричні матриці уникають обох ускладнень. Їхні власні значення завжди дійсні, а власні вектори, що відповідають різним власним значенням, ортогональні. Для $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ власні значення дорівнюють 3 і 1, з власними векторами $(1, 1)$ і $(1, -1)$, скалярний добуток яких дорівнює нулю.

Діагоналізація й степені матриці

Якщо матриця $n \times n$ має $n$ лінійно незалежних власних векторів, вона діагоналізовна. Запишіть власні вектори в стовпці $P$, а власні значення — на діагональ $D$; тоді:

Діагональну матрицю підносять до степеня, підносячи до степеня кожен діагональний елемент: так обчислення $A^{100}$ стає простим. Власні значення передбачають і довгострокову поведінку: якщо одне власне значення за модулем строго більше за всі інші, то багаторазове множення на $A$ повертає майже будь-який початковий вектор до напряму відповідного власного вектора.

Де важливі власні значення

• Пошукові системи: початковий алгоритм ранжування сторінок Google упорядковує вебсторінки за домінантним власним вектором матриці посилань.
• Техніка: власні частоти мостів і будівель визначаються власними значеннями, і інженери тримають їх подалі від очікуваних частот збудження.
• Аналіз даних: метод головних компонент використовує власні вектори коваріаційної матриці, щоб знайти напрями найбільшого розкиду.
• Диференціальні рівняння: знаки власних значень вирішують, стійка рівновага чи нестійка.
• Квантова механіка: вимірювані величини, наприклад рівні енергії, — це власні значення операторів.

Калькулятор власних значень знаходить власні значення й власні вектори, зокрема комплексні, і покроково показує характеристичний многочлен. Калькулятор визначників допомагає перевірити $\det(A - \lambda I)$ для значення-кандидата.

Приклад 3 на 3

Більші матриці опрацьовують тим самим способом, і нулі допомагають так само, як у визначниках. Візьмімо матрицю з рядками $(2, 0, 0)$, $(0, 3, 4)$ і $(0, 4, 9)$. Розклад $\det(A - \lambda I)$ за першим рядком дає $(2 - \lambda)$, помножене на характеристичний многочлен блоку з рядками $(3, 4)$ і $(4, 9)$. Цей блок має слід 12 і визначник $27 - 16 = 11$, тому його многочлен дорівнює $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$.

Отже, власні значення дорівнюють 2, 1 і 11. Перевірка: їхня сума 14 — слід усієї матриці, а добуток 22 — її визначник. Власні вектори: $(1, 0, 0)$ для власного значення 2, $(0, -2, 1)$ для 1 і $(0, 1, 2)$ для 11. Матриця симетрична, і, як і обіцяно, ці три вектори попарно ортогональні.

Типові помилки

• Віднімати $\lambda$ від усіх елементів, а не лише від діагональних.
• Після розв'язання $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ прийняти нульовий вектор за власний.
• Вважати, що кратне власне значення завжди має два лінійно незалежні власні вектори.
• Забути перевірити результат, обчисливши $A\mathbf{v}$ і порівнявши з $\lambda\mathbf{v}$.

Заключна перевірка — найцінніша звичка з усіх. Вона потребує лише одного добутку матриці на вектор, і якщо $A\mathbf{v}$ не кратне $\mathbf{v}$, то хибне або власне значення, або власний вектор.

Геометрична картина

Уявіть, що ви застосовуєте матрицю з прикладу 1 до кожної точки аркуша в клітинку. Більшість стрілок, що виходять із початку координат, водночас подовжуються й повертаються. Але стрілки на прямій через $(1, 1)$ просто стають уп'ятеро довшими, а стрілки на прямій через $(1, -2)$ подвоюють довжину, не залишаючи своєї прямої. Власні вектори — це каркас відображення: знаючи, що відбувається вздовж цих двох прямих, ви знаєте, що відбувається скрізь, адже будь-який вектор розкладається на складові вздовж цих прямих.

Поширені запитання