Вступ до матриць: посібник для початківців

Що таке матриця?

Матриця — це прямокутна таблиця чисел, які називають елементами, розміщених за рядками й стовпцями. Матрицю з $m$ рядків і $n$ стовпців називають матрицею розміру $m \times n$ (читається «m на n»), і рядки завжди вказують першими. Елемент у рядку $i$ і стовпці $j$ матриці $A$ позначають $a_{ij}$. Наприклад:

Матриця з одного стовпця — це вектор-стовпець, матриця з одного рядка — вектор-рядок. У квадратній матриці кількість рядків дорівнює кількості стовпців; лише квадратні матриці можуть мати визначник і обернену матрицю. Дві матриці рівні, лише якщо вони мають однаковий розмір і всі відповідні елементи збігаються.

Додавання матриць і множення на число

Матриці однакового розміру додають поелементно: елемент у рядку $i$ і стовпці $j$ матриці $A + B$ дорівнює $a_{ij} + b_{ij}$. Віднімання влаштоване так само. Матриці різних розмірів додавати не можна, бо немає змістовного способу зіставити їхні елементи.

Під час множення матриці на скаляр, тобто на звичайне число, кожен елемент множиться на це число. Ці операції поводяться точно як звична арифметика: додавання комутативне й асоціативне, і $k(A + B) = kA + kB$.

Множення матриць: рядок на стовпець

Дві матриці перемножують не поелементно. Кожен елемент добутку $AB$ — це скалярний добуток рядка $A$ на стовпець $B$:

Для цього кількість стовпців $A$ має дорівнювати кількості рядків $B$. Якщо $A$ — матриця розміру $m \times n$, а $B$ — розміру $n \times p$, то добуток має розмір $m \times p$. Для швидкої перевірки запишіть розміри поруч: внутрішні числа мають збігатися, а зовнішні дають розмір результату. Матриця $2 \times 3$, помножена на матрицю $3 \times 4$, дає матрицю $2 \times 4$, а добуток матриці $2 \times 3$ на іншу матрицю $2 \times 3$ не визначений.

Порядок важливий: AB рідко дорівнює BA

Якщо в попередньому прикладі поміняти порядок, вийде $BA = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$ — інша матриця. Множення матриць не комутативне. З неквадратними матрицями ще гірше: один добуток може бути визначений, а інший ні, або два добутки мають різні розміри.

Інші звичні правила й далі діють. Множення асоціативне, $(AB)C = A(BC)$, і дистрибутивне щодо додавання, $A(B + C) = AB + AC$. Але варто запам'ятати два застереження. Добуток двох ненульових матриць може виявитися нульовою матрицею, а з $AB = AC$ не можна скоротити $A$, якщо тільки $A$ не оборотна. Тому обчислення з матрицями потребують трохи більшої уважності, ніж із числами.

Розкриваючи дужки у виразах на зразок $(A + B)^2$, стежте за порядком: результат дорівнює $A^2 + AB + BA + B^2$, а не $A^2 + 2AB + B^2$.

Одинична й транспонована матриці

Одинична матриця $I$ — це квадратна матриця з одиницями на головній діагоналі й нулями в усіх інших місцях. Вона відіграє роль числа 1 в арифметиці: $AI = IA = A$ для будь-якої квадратної матриці $A$ відповідного розміру. Нульова матриця, усі елементи якої дорівнюють нулю, відіграє роль 0.

Транспонована матриця $A^T$ міняє місцями рядки й стовпці: елемент у рядку $i$ і стовпці $j$ матриці $A^T$ дорівнює $a_{ji}$. Матриця $2 \times 3$ перетворюється на матрицю $3 \times 2$. Корисне правило: під час транспонування добутку порядок множників змінюється на протилежний.

Матрицю, що дорівнює своїй транспонованій, називають симетричною. Симетричні матриці постійно трапляються в статистиці й фізиці, а їхні власні значення поводяться особливо добре: вони завжди дійсні.

Матриці й системи рівнянь

Одне з найважливіших застосувань матриць — компактний запис системи лінійних рівнянь. Система $2x + y = 5$ і $x - 3y = -1$ перетворюється на:

Перемноживши ліву частину, ви знову отримаєте обидва рівняння — добра перевірка того, що матрицю складено правильно. Розв'язок: $x = 2$, $y = 1$. У такій формі ті самі методи — метод Гаусса чи обернена матриця — дають змогу розв'язати і два рівняння, і дві тисячі. Наш посібник із розв'язування систем рівнянь пояснює методи вручну, а калькулятор систем рівнянь розв'язує їх покроково.

Навіщо потрібні матриці

• Комп'ютерна графіка: повороти, масштабування й проєкції 3D-моделей — це добутки матриць, що застосовуються до кожної вершини.
• Аналіз даних: набір даних — це матриця з одним рядком на спостереження й одним стовпцем на ознаку, і методи на зразок методу головних компонент працюють безпосередньо з нею.
• Мережі: матриця суміжності показує, які вершини з'єднані, а її степені підраховують шляхи заданої довжини.
• Економіка й техніка: моделі «витрати — випуск» і розрахунок електричних кіл приводять до великих систем лінійних рівнянь.
• Машинне навчання: шари нейронної мережі по суті є добутками матриць.

Калькулятор матриць додає, перемножує й транспонує матриці будь-яких узгоджених розмірів і показує кожне обчислення «рядок на стовпець», що робить його зручним для перевірки домашніх завдань.

Степені й діагональні матриці

Квадратну матрицю можна помножити саму на себе, тому степені на зразок $A^2 = AA$ і $A^3 = AAA$ мають сенс. Неквадратні матриці степенів не мають, бо розміри не узгоджуються. Степені матриць виникають щоразу, коли процес повторюється: якщо матриця описує, як населення за рік переміщується між регіонами, то її десятий степінь описує переміщення за десять років.

Діагональні матриці, у яких ненульові елементи стоять лише на головній діагоналі, особливо зручні. Добуток двох діагональних матриць отримують перемноженням їхніх діагональних елементів, тож піднести діагональну матрицю до степеня — означає піднести до степеня кожен діагональний елемент. Наприклад, квадрат діагональної матриці з елементами 2 і 3 — це діагональна матриця з елементами 4 і 9. Значна частина просунутої лінійної алгебри присвячена зведенню матриці до діагонального вигляду, щоб такі обчислення ставали простими.

Типові помилки з матрицями

• Плутати рядки й стовпці, вказуючи розмір. Рядки завжди йдуть першими.
• Перемножувати поелементно, а не «рядок на стовпець».
• Вважати, що $AB = BA$, або змінювати порядок множників під час спрощення виразу.
• Намагатися додати матриці різних розмірів чи перемножити матриці, внутрішні розміри яких не збігаються.
• Забувати, що під час транспонування добутку порядок множників змінюється на протилежний.

Побіжний погляд на розміри перед кожним обчисленням запобігає більшості цих помилок. Підпишіть розмір під кожною матрицею, перевірте, чи визначена операція, і передбачте розмір результату, перш ніж обчислювати бодай один елемент.

Поширені запитання