Векторний добуток двох векторів: пояснення

Що дає векторний добуток

Скалярний добуток перетворює два вектори на число. Векторний же добуток перетворює два вектори на третій вектор. Він означений лише в тривимірному просторі, і його результат має дві головні особливості. Його напрям ортогональний до обох вихідних векторів, а модуль дорівнює площі паралелограма, побудованого на них:

Тут $\theta$ — кут між векторами, від 0 до 180 градусів. Оскільки синус 0 і 180 градусів дорівнює нулю, векторний добуток двох паралельних векторів завжди дорівнює нульовому вектору, а ортогональні вектори дають найбільший можливий за їхніх довжин модуль.

Формула через координати

Для $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ і $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ координати такі:

Цю формулу важко запам'ятати, тому більшість користується символічним визначником. Запишіть одиничні вектори $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ і $\mathbf{k}$ у перший рядок, під ними — координати $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$, і розкладіть за першим рядком:

Завжди завершуйте двома перевірками скалярним добутком. Вони займають секунди й виявляють майже будь-яку помилку в знаку, особливо в середній координаті.

Правило правої руки й порядок множників

Існують два протилежні напрями, ортогональні до обох векторів, і правило правої руки вибирає один із них. Спрямуйте пальці правої руки вздовж $\mathbf{a}$, зігніть їх у бік $\mathbf{b}$, і великий палець укаже напрям $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$. Для одиничних векторів стандартного базису маємо $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ і $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$.

Якщо змінити порядок, великий палець укаже в інший бік: векторний добуток антикомутативний:

Він також не асоціативний: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$, тоді як $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$. Зате він дистрибутивний відносно додавання, а скалярний множник можна виносити: $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.

Площі паралелограмів і трикутників

Оскільки модуль векторного добутку — площа паралелограма, він дає площі безпосередньо за координатами. Вектори з прикладу 1 задають паралелограм площею $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$, а трикутник із цими двома сторонами має половину цієї площі, приблизно 3,67.

Вектори нормалі й рівняння площин

Площину задають однією її точкою й вектором нормалі, перпендикулярним до неї. Оскільки векторний добуток двох векторів площини ортогональний до обох, він і є таким вектором нормалі. У прикладі 2 вектор $(6, 3, 2)$ — нормаль до площини, що проходить через $P$, $Q$ і $R$, тому її рівняння має вигляд $6x + 3y + 2z = d$. Підставивши $P(1, 0, 0)$, отримуємо $d = 6$.

Площина — $6x + 3y + 2z = 6$, і точки $Q$ і $R$ її теж задовольняють: $3 \cdot 2 = 6$ і $2 \cdot 3 = 6$. Ту саму ідею постійно використовують у 3D-графіці, де кожному трикутнику моделі потрібен вектор нормалі, щоб задати його освітлення й визначити, яким боком він повернутий до камери.

Момент сили й інші застосування у фізиці

Момент сили, що вимірює обертальну дію сили, — це векторний добуток: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$, де $\mathbf{r}$ напрямлений від осі обертання до точки прикладання сили. Його модуль дорівнює $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$.

Момент імпульсу й магнітна сила, що діє на рухомий заряд, теж є векторними добутками, і в усіх випадках напрям результату задає правило правої руки.

Мішаний добуток і об'єм

Об'єднавши обидва добутки, отримуємо мішаний добуток $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$, що дорівнює визначнику $3 \times 3$ з рядками $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ і $\mathbf{c}$. Його модуль — об'єм паралелепіпеда, побудованого на трьох векторах. Для $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$ і $(0, 0, 3)$ паралелепіпед — звичайний прямокутний, і мішаний добуток дорівнює $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Нульовий мішаний добуток означає, що три вектори лежать в одній площині.

Калькулятор векторного добутку обчислює векторні добутки з кожним кроком визначника, а також знаходить площі й кут між векторами. Використовуйте його разом із калькулятором скалярного добутку, щоб перевірити ортогональність.

Відстань від точки до прямої

Тлумачення через площу розв'язує й класичну задачу на відстань. Візьмімо пряму, що проходить через точку $A$ з напрямним вектором $\mathbf{u}$, і точку $P$ поза прямою. Паралелограм, побудований на $\overrightarrow{AP}$ і $\mathbf{u}$, має площу $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$, а оскільки довжина його основи $|\mathbf{u}|$, висота, тобто відстань від $P$ до прямої, дорівнює площі, поділеній на основу.

Візьмімо, наприклад, пряму через початок координат із напрямним вектором $(1, 2, 2)$ і точку $P(2, 1, 3)$. Векторний добуток $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ має модуль $\sqrt{26}$, а напрямний вектор — модуль 3, тому відстань дорівнює $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$. Для перевірки можна спроєктувати: точка віддалена від початку координат на $\sqrt{14}$, її проєкція на пряму дорівнює $\frac{10}{3}$, і теорема Піфагора дає ту саму відстань.

Типові помилки й вправи

• Забувати знак мінус у середньої координати під час розкладу визначника.
• Змінювати порядок векторів, через що напрям результату змінюється на протилежний.
• Брати за площу трикутника модуль векторного добутку, а не його половину.
• Намагатися знайти векторний добуток векторів на площині, не дописавши спочатку нульову третю координату.

Для практики перевірте, що $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$, тобто правило $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$. Потім переконайтеся, що $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ — нульовий вектор, оскільки другий вектор удвічі більший за перший. Нарешті, обчисліть $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$; має вийти $(1, -1, 1)$, і обидві перевірки скалярним добутком мають дати нуль.

Чому формула дає ортогональний вектор

Корисно розуміти, чому формула через координати працює, а не просто довіряти їй. Візьміть скалярний добуток результату на сам $\mathbf{a}$: вийде $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$. Якщо розкрити дужки, кожен доданок трапляється двічі з протилежними знаками, тому сума точно дорівнює нулю. Те саме скорочення відбувається і з $\mathbf{b}$. Мовою визначників скалярний добуток на $\mathbf{a}$ замінює рядок одиничних векторів на $\mathbf{a}$, що дає визначник із двома однаковими рядками, а такий визначник завжди дорівнює нулю. В обох випадках ортогональність закладена в саму формулу й не залежить від удачі на кількох особливих прикладах.

Поширені запитання