Z-оцінка на розв'язаних прикладах

Що вимірює z-оцінка

Сам по собі вихідний бал мало про що свідчить. 85 балів за контрольну звучать добре, але якщо всі інші набрали 95, це насправді слабкий результат. Z-оцінка, або стандартизоване значення, розв'язує цю проблему, оцінюючи значення відносно його групи. Вона відповідає на єдине запитання: на скільки стандартних відхилень це значення віддалене від середнього?

Тут $x$ — значення, $\mu$ — середнє, $\sigma$ — стандартне відхилення. Додатна z-оцінка означає, що значення вище від середнього; від'ємна — що нижче; нуль — що воно точно дорівнює середньому. Z-оцінка 2 означає два стандартні відхилення вище від середнього, що для більшості наборів даних незвично високо. Як обчислити саме стандартне відхилення, читайте в статті як обчислити стандартне відхилення.

Покрокове обчислення z-оцінки

Одиниці вимірювання завжди скорочуються, бо чисельник і знаменник виражені у вихідних одиницях. Саме це робить z-оцінки безрозмірними й порівнюваними між цілком різними величинами.

Порівняння результатів у різних шкалах

Найпрактичніше застосування z-оцінок — чесне порівняння. Припустімо, учениця набрала 82 бали з хімії за середнього 75 і стандартного відхилення 5 та 88 балів з історії за середнього 80 і стандартного відхилення 8. Бал з історії вищий, але який результат вражає більше?

Порівняно з іншими учнями результат з хімії кращий: 1,4 стандартного відхилення вище від середнього проти 1,0. Та сама ідея дає змогу дослідникам порівнювати вимірювання різних приладів, а аналітикам — порівнювати показники компанії з галузями, типові значення яких сильно різняться.

Від z-оцінки назад до вихідного значення

Якщо розв'язати формулу у зворотний бік, вийде вихідне значення, що відповідає цій z-оцінці:

Для тесту із середнім 70 і стандартним відхиленням 10 z-оцінка $-1.2$ відповідає значенню $70 + (-1.2)(10) = 58$. Ця форма зручна для встановлення порогових значень, наприклад щоб дізнатися, який бал потрібен учневі, щоб потрапити до найкращих 10 відсотків, як показує приклад 4 нижче.

Від z-оцінок до процентилів

Якщо дані підпорядковані нормальному розподілу — гауссовій дзвоноподібній кривій, — z-оцінку можна перевести в процентиль, тобто частку значень, що лежать нижче. Стандартний нормальний розподіл має середнє 0 і стандартне відхилення 1, а його функція розподілу, що позначається $\Phi(z)$, дає цю частку. Кілька орієнтирів варто запам'ятати:

• $\Phi(0) = 0.5$: середнє відповідає 50-му процентилю.
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ і $\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$: отже, учень із прикладу 1 випередив приблизно 93 відсотки класу.
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$: отже, учениця з прикладу 2 перебуває приблизно на 21-му процентилі.
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$, тому значення 1,96 з'являється в 95-відсоткових довірчих інтервалах.

Емпіричне правило підсумовує дзвоноподібну криву: близько 68 відсотків значень лежать ближче ніж за одне стандартне відхилення від середнього, близько 95 відсотків — ближче ніж за два й близько 99,7 відсотка — ближче ніж за три. Тому значення з $|z| > 3$ рідкісні, і їх часто перевіряють як можливі викиди.

Z-оцінки для вибіркових середніх

Середні коливаються менше, ніж окремі значення. Якщо брати вибірки обсягу $n$ з генеральної сукупності із середнім $\mu$ і стандартним відхиленням $\sigma$, вибіркове середнє має стандартне відхилення $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, яке називають стандартною похибкою. Z-оцінка вибіркового середнього дорівнює

Наприклад, якщо 25 учнів, що писали тест вище, мають середнє 73, стандартна похибка дорівнює $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$, а $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$. Три зайві бали — звичайна річ для одного учня, але досить незвично для середнього 25 учнів. Ця формула — відправна точка для z-критеріїв і довірчих інтервалів у вступних курсах статистики.

На що зважати під час роботи із z-оцінками

• Переводити z-оцінки в процентилі через $\Phi$ припустимо, лише якщо дані розподілені приблизно нормально. Для сильно скошених даних, таких як доходи, процентилі краще знаходити безпосередньо за даними.
• Використовуйте стандартне відхилення генеральної сукупності, якщо воно відоме, а інакше — вибіркове стандартне відхилення як оцінку; для малих вибірок доводиться переходити до розподілу Стьюдента.
• Z-оцінка описує положення всередині групи. Порівняння z-оцінок із груп із дуже різним рівнем однаково може вводити в оману.
• Зберігайте знак. Z-оцінки $-2$ і $2$ однаково незвичні, але означають протилежне.

Калькулятор z-оцінки знаходить z-оцінки, процентилі й площу між двома значеннями, а калькулятор стандартного відхилення заздалегідь дасть вам потрібні середнє й стандартне відхилення.

Де z-оцінки трапляються на практиці

У звітах про стандартизовані тести вихідні бали часто переводять у стандартні бали чи процентилі, що ґрунтуються на тій самій ідеї, що й z-оцінка. Педіатри відстежують зріст і вагу дитини за кривими росту, а деякі клінічні інструменти видають ці показники безпосередньо у вигляді z-оцінок для віку дитини. Денситометрія кісток дає T-критерій — z-оцінку, обчислену відносно здорових молодих дорослих. Інженери з якості позначають деталі, розміри яких відхиляються від номіналу більш ніж на три стандартні відхилення, а фінансові аналітики стандартизують дохідність, щоб порівнювати фонди з різним ризиком в одній шкалі.

Вправи

1. Набір даних має середнє 50 і стандартне відхилення 4. Знайдіть z-оцінку значення 56. Розв'язання: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. Результати тесту мають середнє 100 і стандартне відхилення 15. Яке значення відповідає $z = -2$? Розв'язання: $100 + (-2)(15) = 70$.
3. Значення розподілені нормально із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Яка частка лежить нижче від 650? Розв'язання: $z = 1.5$, тобто приблизно $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, або 93 відсотки.

Поширені запитання