Статистика

Як обчислити стандартне відхилення (вибірки й генеральної сукупності)

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубліковано 25 жовтня 2026 р.

Стандартне відхилення показує, наскільки далеко дані зазвичай віддалені від середнього. Цей посібник покроково показує обчислення, пояснює, коли ділити на n, а коли на n мінус 1, і як потім тлумачити результат.

Що вимірює стандартне відхилення

Середнє показує, де розташований центр набору даних, але не те, наскільки щільно значення згруповані навколо нього. Стандартне відхилення заповнює цю прогалину. Мале стандартне відхилення означає, що значення близькі до середнього; велике — що вони сильно розкидані. Його вимірюють у тих самих одиницях, що й дані: стандартне відхилення зросту 5 сантиметрів означає, що типовий зріст відрізняється від середнього приблизно на 5 сантиметрів.

Обчислення підпорядковане простій логіці. Виміряйте відстань кожного значення до середнього, піднесіть ці відстані до квадрата, щоб значення вище й нижче від середнього не знищували одне одного, знайдіть середнє квадратів і наприкінці добудьте квадратний корінь, щоб повернутися до вихідних одиниць. Якщо хочете повторити саме поняття середнього, почніть зі статті середнє, медіана, мода й стандартне відхилення.

Дві формули

Існують дві версії — залежно від того, чи становлять ваші дані всю генеральну сукупність, чи вибірку з більшої сукупності:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}} \qquad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Стандартне відхилення генеральної сукупності $\sigma$ ділить на кількість значень $N$ . Вибіркове стандартне відхилення $s$ ділить на $n - 1$ . Величина під коренем — дисперсія, що позначається $\sigma^2$ або $s^2$ . Дисперсія корисна в теорії, але її одиниці піднесено до квадрата, наприклад квадратні сантиметри, тому зазвичай подають стандартне відхилення.

П'ять кроків вручну

Приклад 1: стандартне відхилення п'яти значень

Дані: 6, 8, 10, 12, 14. Крок 1, знайдіть середнє: $\frac{50}{5} = 10$ .
Крок 2, відніміть середнє від кожного значення: $-4, -2, 0, 2, 4$ .
Крок 3, піднесіть кожне відхилення до квадрата: $16, 4, 0, 4, 16$ .
Крок 4, додайте квадрати: $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$ .
Крок 5, поділіть і добудьте корінь. Для генеральної сукупності: $\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2.83$ . Для вибірки: $s = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$ .

Таблиця зі стовпцями $x$ , $x - \bar{x}$ і $(x - \bar{x})^2$ допомагає тримати роботу в порядку. Корисна перевірка: відхилення в другому стовпці в сумі завжди дають нуль. Якщо це не так, середнє знайдено неправильно, а разом із ним і все, що йде далі.

Чому для вибірки ділять на n мінус 1?

Працюючи з вибіркою, ви не знаєте справжнього середнього генеральної сукупності, тому вимірюєте відхилення від вибіркового середнього. Але це середнє за побудовою — саме та точка, що робить суму квадратів відхилень для цієї вибірки найменшою. Тому відхилення, виміряні від нього, у середньому трохи менші, ніж були б від справжнього середнього.

Ділення на $n - 1$ замість $n$ компенсує цей ефект, і вибіркова дисперсія стає незміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Цю поправку називають поправкою Бесселя. На неї можна поглянути й через ступені вільності: якщо відомі середнє й $n - 1$ відхилень, останнє визначене, бо їхня сума має дорівнювати нулю. Незалежну інформацію несуть лише $n - 1$ відхилень.

На практиці використовуйте вибіркову формулу, якщо тільки ваші дані справді не охоплюють усіх членів групи, що вас цікавить, наприклад оцінки всіх учнів класу, коли важить лише цей клас.

Скорочена формула й таблиці частот

Алгебраїчно рівносильна формула позбавляє від обчислення кожного відхилення окремо:

\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2

Для даних із прикладу 1 $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$ , тому $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$ , як і раніше. Вручну цей спосіб швидкий, але комп'ютери уникають його для великих або дуже точних чисел, бо віднімання двох великих майже рівних чисел знижує точність.

Приклад 2: дані в таблиці частот

Опитування фіксує кількість домашніх тварин у 10 сім'ях: значення 1 трапляється 2 рази, значення 2 — 5 разів, значення 3 — 3 рази.
Середнє: $\frac{1(2) + 2(5) + 3(3)}{10} = \frac{21}{10} = 2.1$ .
Зважені квадрати відхилень: $2(1 - 2.1)^2 + 5(2 - 2.1)^2 + 3(3 - 2.1)^2 = 2.42 + 0.05 + 2.43 = 4.9$ .
Для вибірки: $s = \sqrt{\frac{4.9}{9}} \approx 0.738$ . Для генеральної сукупності: $\sigma = \sqrt{\frac{4.9}{10}} = 0.7$ .

Як тлумачити результат

Для даних, що приблизно підпорядковані дзвоноподібному нормальному розподілу, емпіричне правило дає конкретне тлумачення стандартного відхилення: близько 68 відсотків значень лежать ближче ніж за одне стандартне відхилення від середнього, близько 95 відсотків — ближче ніж за два й близько 99,7 відсотка — ближче ніж за три. Якщо зріст групи дорослих має середнє 170 сантиметрів і стандартне відхилення 8, то близько 95 відсотків групи мають зріст від 154 до 186 сантиметрів.

Для даних будь-якої форми нерівність Чебишова однаково гарантує, що щонайменше 75 відсотків значень лежать ближче ніж за два стандартні відхилення від середнього і щонайменше приблизно 89 відсотків — ближче ніж за три. Виразивши відстань значення від середнього в стандартних відхиленнях, отримуємо його z-оцінку, що дає змогу порівнювати значення, виміряні в різних шкалах.

Стандартне відхилення передбачувано реагує й на перетворення даних. Якщо додати до всіх значень ту саму сталу, середнє зсунеться, але стандартне відхилення не зміниться, бо розкид залишається тим самим. Якщо помножити всі значення на сталу, стандартне відхилення помножиться на модуль цієї сталої: перехід від метрів до сантиметрів множить його на 100.

З калькулятором або в електронній таблиці

Наукові калькулятори зазвичай мають дві клавіші, часто позначені $\sigma_x$ або $\sigma_n$ для версії генеральної сукупності й $s_x$ або $\sigma_{n-1}$ для вибіркової версії. В українськомовних електронних таблицях, наприклад у Google Таблицях, назви функцій залишаються англійськими: STDEV.P обчислює стандартне відхилення генеральної сукупності, а STDEV.S — вибіркове; старіша функція STDEV теж дає вибіркове значення. Вибір не тієї функції — найчастіша причина розбіжності результатів.

Калькулятор стандартного відхилення показує обидві версії з повною таблицею відхилень — ідеально, щоб перевірити домашнє завдання, розв'язане вручну. Калькулятор середнього, медіани й моди доповнює решту показників, а калькулятор z-оцінки використовує результат для стандартизації окремих значень.

Порівняння розкиду в різних шкалах

Стандартні відхилення важко порівнювати, коли середні сильно різняться. Стандартне відхилення 2 кг величезне для новонароджених, але мізерне для дорослих слонів. Коефіцієнт варіації розв'язує цю проблему, ділячи стандартне відхилення на середнє; зазвичай його виражають у відсотках. Два вкладення із середньою річною дохідністю 6 і 9 відсотків та стандартними відхиленнями 3 і 9 відсоткових пунктів мають коефіцієнти варіації 50 і 100 відсотків: друге вдвічі мінливіше відносно своєї типової дохідності.

Типові помилки

Забути піднести відхилення до квадрата, через що додатні й від'ємні значення знищують одне одного й дають нуль.
Забути добути корінь наприкінці й подати замість стандартного відхилення дисперсію.
Плутати вибіркову формулу й формулу для генеральної сукупності або натискати не ту клавішу на калькуляторі.
Надто сильно заокруглювати середнє перед обчисленням відхилень, через що накопичуються похибки заокруглення.
Опрацьовувати таблицю частот так, ніби кожне значення трапляється лише один раз.

Поширені запитання

Яке стандартне відхилення використовувати: вибіркове чи генеральної сукупності?

Формулу для генеральної сукупності використовуйте, лише якщо ваші дані охоплюють усіх членів групи, яку ви хочете описати. Якщо дані — вибірка, за якою ви хочете судити про більшу групу, що буває зазвичай, використовуйте вибіркову формулу з $n - 1$ .

Навіщо добувати квадратний корінь із дисперсії?

Дисперсія — це середнє квадратів відхилень від середнього, а стандартне відхилення — квадратний корінь із неї. Обидві несуть ту саму інформацію, але стандартне відхилення виражене у вихідних одиницях, тому його легше тлумачити.

Що означає нульове стандартне відхилення?

Що всі значення в наборі даних однакові: розкиду немає зовсім. Будь-яке, навіть найменше, коливання робить стандартне відхилення строго додатним.

Чи погане велике стандартне відхилення?

Не обов'язково. Воно лише означає, що дані сильно розкидані. Добре це чи погано, залежить від контексту: великі коливання термінів доставки — погано, тоді як великі коливання в експерименті із селекції рослин можуть бути саме тим, що дослідники сподіваються знайти.

MathSolver Pro Editorial Team

Редакція й математична вичитка

Наша редакція пише кожен посібник так, щоб він пояснював міркування за кожним методом, а не лише відповідь. Кожен розібраний приклад перед публікацією перевіряється рушіями розв'язування сайту й автоматичними тестами, а статті оновлюються, щойно змінюється метод чи формат тесту.