Калькулятор стандартного відхилення

Про калькулятор стандартного відхилення

Стандартне (середньоквадратичне) відхилення показує, наскільки сильно дані розкидані навколо середнього. Мале стандартне відхилення означає, що значення близькі до середнього; велике — що вони сильно розсіяні.

Використовуйте формулу для генеральної сукупності, якщо дані охоплюють усіх членів групи, що вас цікавить, і формулу для вибірки, де ділять на $n-1$ , якщо дані — вибірка, за якою оцінюють ширшу сукупність.

Що вимірює стандартне відхилення?

Стандартне відхилення вимірює, наскільки далеко набір чисел розкиданий навколо свого середнього. Якщо воно мале, значення лежать близько до середнього; якщо велике, вони сильно розсіяні. Два класи можуть мати за контрольну однаковий середній бал 70, але якщо в одного стандартне відхилення 3, а в іншого 15, то результати першого були рівними, а в другому є і ті, хто відстає, і дуже сильні учні.

Його обчислюють за відхиленнями, тобто за відстанню від кожного значення до середнього. У сумі ці відхилення завжди дають нуль, тому перед усередненням їх підносять до квадрата й отримують дисперсію. Добуваючи корінь із дисперсії, ми повертаємося до початкових одиниць: стандартне відхилення зросту, виміряного в сантиметрах, теж виражається в сантиметрах.

Як користуватися калькулятором стандартного відхилення

Введіть або вставте числа, розділяючи їх комами, пробілами чи переходами на новий рядок.
Виберіть «Вибірка» або «Генеральна сукупність».
Натисніть «Обчислити», щоб побачити середнє, квадрати відхилень, дисперсію й стандартне відхилення.

Формули

Стандартне відхилення генеральної сукупності

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

Стандартне відхилення вибірки

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Дисперсія набору даних

\sigma^2,\ s^2 = (\text{стандартне відхилення})^2

Розв'язаний приклад: 4, 8, 6, 5, 3, 7 (вибірка)

У розібраному прикладі числа 4, 8, 6, 5, 3, 7 розглядаються як вибірка. Середнє дорівнює $\frac{33}{6} = 5.5$ . Відхилення дорівнюють $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ , а сума їхніх квадратів — 17,5. Ділячи на $n - 1 = 5$ , отримуємо вибіркову дисперсію 3,5, корінь із якої — вибіркове стандартне відхилення $s \approx 1.870828693$ . Для порівняння: якщо вважати ті самі шість чисел усією генеральною сукупністю, ділять на 6 й отримують $\sigma \approx 1.707825128$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

s = 1.870828693

Як ми зрозуміли вашу задачу

Розглядаємо дані як вибірку з більшої генеральної сукупності (поправка Бесселя, ділимо на n − 1).

Покроковий розв'язок

Знаходимо середнє
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
Підносимо до квадрата кожне відхилення від середнього
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
Додаємо квадрати відхилень
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
Ділимо на n − 1 й отримуємо вибіркову дисперсію
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
Добуваємо квадратний корінь
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

Використані формули

Вибіркове стандартне відхилення
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
Стандартне відхилення генеральної сукупності
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

Стандартне відхилення показує, наскільки значення розкидані навколо середнього. Мале значення означає, що дані зосереджені біля середнього.

Перевірка

Дисперсія = 3.5, а 1.870828693² = 3.5
Стандартне відхилення генеральної сукупності для порівняння: 1.707825128

Докладне пояснення

Вибірка чи генеральна сукупність на практиці

Дві формули відрізняються лише знаменником, але для невеликих наборів даних вибір має значення. Якщо числа стосуються всіх членів групи, що вас цікавить, наприклад оцінки всіх 25 учнів класу, використовуйте формулу для генеральної сукупності з $N$ . Якщо це вибірка, за якою оцінюють розкид у більшій групі, наприклад 25 випадково вибраних учнів усієї школи, використовуйте формулу для вибірки з $n - 1$ . У другому прикладі калькулятора, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 як генеральна сукупність, середнє дорівнює 5, а сума квадратів відхилень — 32, тому $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ .

Як інтерпретувати результат

Для даних із дзвоноподібним розподілом емпіричне правило стверджує, що приблизно 68 % значень відстоять від середнього менше ніж на одне стандартне відхилення, приблизно 95 % — менше ніж на два й приблизно 99,7 % — менше ніж на три. Тому значення, віддалене від середнього більше ніж на два стандартні відхилення, незвичайне. Якщо поділити відстань від значення до середнього на стандартне відхилення, вийде його z-оцінка, що дає змогу порівнювати результати в різних шкалах, наприклад оцінку й час забігу.

Стандартне відхилення чутливе до викидів, бо відхилення підносяться до квадрата, і одне крайнє значення може сильно його роздути. Для сильно асиметричних даних розкид часто краще описує міжквартильний розмах.

Типові помилки

Використовувати $n$ замість $n - 1$ для вибірки, що занижує розкид.
Забути піднести відхилення до квадрата, через що додатні й від'ємні відхилення взаємно знищуються до нуля.
Указати дисперсію, коли питають стандартне відхилення.
Заокруглювати середнє до обчислення відхилень, що спотворює всі квадрати.
Забути добути корінь наприкінці й видати дисперсію за стандартне відхилення.

Поради

Для дзвоноподібних даних приблизно 68 % значень відстоять від середнього менше ніж на одне стандартне відхилення.
Стандартне відхилення вимірюється в тих самих одиницях, що й дані; дисперсія — у квадратах цих одиниць.
Зсув усіх значень на ту саму сталу не змінює стандартного відхилення.
Якщо додати до всіх значень сталу, стандартне відхилення не зміниться; якщо помножити всі значення на $k$ , воно помножиться на $|k|$ .
Використовуйте калькулятор z-оцінки, щоб дізнатися, на скільки стандартних відхилень конкретне значення віддалене від середнього.

Поширені запитання

Що таке стандартне відхилення?

Корінь із середнього квадратів відхилень від середнього. Воно показує, наскільки далеко значення зазвичай розташоване від середнього.

Яку формулу використовувати: для вибірки чи для генеральної сукупності?

Для генеральної сукупності — якщо у вас дані щодо всієї групи. Для вибірки — якщо дані лише частина, за якою потрібно описати більшу групу; це трапляється частіше.

Чому у формулі для вибірки ділять на n − 1?

Вибіркове середнє ближче до значень вибірки, ніж справжнє середнє, через що відхилення виходять меншими. Ділення на $n-1$ (поправка Бесселя) компенсує цей ефект і дає незміщену оцінку дисперсії.

Чи може стандартне відхилення дорівнювати нулю?

Так, тоді й лише тоді, коли всі значення однакові. Від'ємним воно бути не може.

Скільки потрібно значень?

Для стандартного відхилення генеральної сукупності досить одного значення (тоді воно дорівнює 0). Формула для вибірки потребує щонайменше двох значень.

Чим дисперсія відрізняється від стандартного відхилення?

Дисперсія — це середнє квадратів відхилень; стандартне відхилення — корінь із неї, який повертає міру до одиниць даних.

Яке стандартне відхилення вважають низьким чи високим?

Універсальної межі немає: усе залежить від масштабу даних. Порівняйте його із середнім або використовуйте коефіцієнт варіації $\frac{s}{\bar x}$ , щоб зрозуміти, чи великий розкид відносно типових значень.

Як викид впливає на стандартне відхилення?

Сильно, бо кожне відхилення підноситься до квадрата. Якщо в прикладі замінити 7 на 70, вибіркове стандартне відхилення зросте приблизно з 1,87 до понад 26.

Спробуйте калькулятор стандартного відхилення

Вставте свої дані й отримайте середнє, дисперсію й стандартне відхилення з поясненням кожного кроку.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач