Калькулятор комбінаторики — розміщення й комбінації з розв'язанням

Про калькулятор розміщень і комбінацій

Багато задач на підрахунок зводяться до одного запитання: чи важливий порядок вибраних елементів? Розставити бігунів на п'єдестал — це розміщення, адже «золото — срібло — бронза» не те саме, що «бронза — срібло — золото». Вибрати трьох людей до комісії — це комбінація, адже ті самі троє в будь-якому порядку утворюють ту саму комісію.

Калькулятор охоплює чотири стандартні випадки: розміщення й комбінації без повторень, розміщення з повтореннями (наприклад, цифрові ПІН-коди) і комбінації з повтореннями (наприклад, вибір кульок морозива з кількох смаків). Він працює з точними цілими числами: навіть величезні кількості, такі як кількість покерних роздач, виводяться повністю, а не заокругленими.

Що таке розміщення й комбінації?

Розміщення — це впорядкований список з $r$ елементів, вибраних з $n$ різних елементів. Їхня кількість дорівнює $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ — добутку перших $r$ множників $n!$ . Комбінація — це вибір без урахування порядку, і їхня кількість дорівнює $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ .

Вони пов'язані між собою: кожну комбінацію з $r$ елементів можна впорядкувати $r!$ способами, тому $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ . Калькулятор використовує цю тотожність, щоб перевіряти кожен результат для розміщень і комбінацій.

Як користуватися калькулятором розміщень і комбінацій

Виберіть, що потрібно порахувати: комбінації, розміщення, розміщення з повтореннями чи комбінації з повтореннями.
Введіть загальну кількість елементів n.
Введіть кількість вибраних елементів r.
Натисніть «Обчислити».
Перегляньте результат, використану формулу й кроки скорочення.

Формули

Розміщення

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Комбінації

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Розміщення з повтореннями

n^r

Комбінації з повтореннями

\binom{n + r - 1}{r}

Розв'язаний приклад: C(10, 3)

У прикладі знаходиться $C(10, 3)$ — кількість способів вибрати 3 елементи з 10, коли порядок не важливий. Спочатку рахуємо впорядковані вибірки: $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .

Кожна трійка трапляється в цьому списку $3! = 6$ разів, по одному на кожен можливий порядок, тому $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ . Перевірка підтверджує: $120 \times 6 = 720$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

120

Як ми зрозуміли вашу задачу

Комбінації C(n, r) (порядок не важливий)

Покроковий розв'язок

Застосовуємо формулу кількості комбінацій
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
Ділимо кількість розміщень на r!, бо порядок не важливий
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

Використані формули

Комбінації C(n, r) (порядок не важливий)
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Кількість способів вибрати 3 з 10 елементів без урахування порядку: 120.

Перевірка

Перевірка: P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720.

Докладне пояснення

Чому факторіали скорочуються

Здається, що для $\frac{n!}{(n-r)!}$ потрібні величезні числа, але більшість множників скорочується. Для $P(8, 3)$ залишається лише $8 \times 7 \times 6 = 336$ : вісім варіантів для першого місця, сім для другого й шість для третього. Калькулятор показує це скорочення, а не обчислює повні факторіали.

Комбінації не розрізняють $r!$ порядків кожної вибірки. Тому $C(n, r)$ завжди не більше за $P(n, r)$ , і тому $C(n, r) = C(n, n - r)$ : вибрати $r$ елементів, які ви берете із собою, — те саме, що вибрати $n - r$ , які ви залишаєте.

Підрахунок із повтореннями

Якщо елементи можуть повторюватися й порядок важливий, на кожну з $r$ позицій є $n$ варіантів, що дає $n^r$ . Чотиризначний цифровий ПІН-код має $10^4 = 10{,}000$ варіантів.

Якщо елементи можуть повторюватися, але порядок не важливий, метод куль і перегородок дає $\binom{n + r - 1}{r}$ . Вибрати 4 кульки морозива з 3 смаків із повтореннями можна $\binom{6}{4} = 15$ способами. У цьому режимі $r$ може бути більшим за $n$ .

Великі числа й крайні випадки

Кількість різних покерних роздач із п'яти карт дорівнює $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ , і завдяки цілочисловій арифметиці калькулятор зберігає такі результати точно. За домовленістю $C(n, 0) = 1$ , бо існує рівно один спосіб нічого не вибрати.

Без повторень не можна вибрати більше елементів, ніж є. Якщо ви запитаєте $C(3, 5)$ , зрозуміле повідомлення запропонує режим із повтореннями або менше $r$ , а не покаже безглуздий нуль.

Комбінації й трикутник Паскаля

Значення $C(n, r)$ утворюють трикутник Паскаля, у якому кожне число дорівнює сумі двох чисел просто над ним: $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ . Це співвідношення має комбінаторне пояснення. Зафіксуйте один елемент; кожна вибірка або містить його, і тоді залишилося вибрати $r - 1$ елементів з $n - 1$ решти, або не містить, і тоді всі $r$ елементів вибираються з $n - 1$ решти.

Ті самі числа є коефіцієнтами в розкладі бінома $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ , звідси й назва — біноміальні коефіцієнти. Сума цілого рядка дорівнює $2^n$ — загальній кількості підмножин множини з $n$ елементів, адже кожен елемент або входить до підмножини, або ні.

Типові помилки

Використовувати розміщення, коли порядок не важливий, і тим самим завищувати відповідь в $r!$ разів.
Використовувати комбінації для впорядкованих списків, таких як ПІН-коди, рейтинги чи розсадка.
Забувати, що повторення повністю змінюють формулу.
Обчислювати повні факторіали вручну замість скорочення, що спричиняє помилки.
Брати r більше за n, коли елементи не можуть повторюватися.

Поради

Запитайте себе: «Чи отримаю я інший результат, якщо поміняю місцями два вибрані елементи?» Якщо так, це розміщення.
Використовуйте $C(n, r) = C(n, n - r)$ , щоб спростити обчислення вручну.
Розбивайте складні задачі на етапи й перемножуйте кількості варіантів на кожному етапі (правило добутку).
Поділіть кількість на загальну кількість можливих наслідків, щоб перетворити її на ймовірність.
Використовуйте біноміальний режим калькулятора ймовірностей, якщо потрібна ймовірність k успіхів, а не просто кількість.
Спочатку прикиньте: якщо кількість комбінацій виявилася більшою за кількість відповідних розміщень, щось не так.

Поширені запитання

Чим розміщення відрізняється від комбінації?

Розміщення рахують упорядковані списки, а комбінації — вибірки без урахування порядку. Вибір 3 елементів з 10 дає 720 розміщень, але лише 120 комбінацій.

Як знайти кількість комбінацій?

Використовуйте n! ÷ (r!(n − r)!). На практиці перемножте перші r множників n! і поділіть на r!. Для C(10, 3) виходить 720 ÷ 6 = 120.

Як знайти кількість розміщень?

Перемножте перші r множників n!: P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

Скільки існує покерних роздач із п'яти карт?

C(52, 5) = 2 598 960, бо порядок, у якому ви отримуєте карти, не важливий.

Що означає «з повтореннями»?

Що кожен елемент можна вибрати більше ніж один раз, як цифри в цифровому ПІН-коді. Упорядкованих вибірок із повтореннями nʳ, невпорядкованих — C(n + r − 1, r).

Чому C(n, 0) дорівнює 1?

Бо існує рівно один спосіб не вибрати жодного елемента — порожня вибірка. Те саме міркування дає 0! = 1.

Чи може r бути більшим за n?

Лише якщо дозволено повторення. Без повторень калькулятор пояснить, що не можна вибрати більше елементів, ніж є.

Спробуйте калькулятор розміщень і комбінацій

Введіть n та r й отримайте точну кількість, формулу й скорочення факторіалів крок за кроком.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Калькулятор розміщень і комбінацій