Калькулятор імовірностей

Про калькулятор імовірностей

Імовірність показує, наскільки можлива подія, за шкалою від 0 (неможлива) до 1 (вірогідна). Більшість задач із підручників дотримуються кількох схем: підрахувати сприятливі наслідки, поєднати незалежні події, урахувати вже відому інформацію й порахувати успіхи в повторних випробуваннях. Цей калькулятор дає раду всім чотирьом.

Дані можна вводити цілими кількостями, десятковими дробами на зразок 0,25, звичайними дробами на зразок 1/4 або відсотками на зразок 25 %. Коли це можливо, відповідь виводиться точним дробом разом із десятковим значенням і відсотком, щоб ви могли записати її в тій формі, якої вимагає вчитель чи підручник. Кожен режим також показує протилежні або пов'язані ймовірності, про які задачі зазвичай питають далі.

Що таке ймовірність?

Якщо всі наслідки випадкового експерименту рівноможливі, імовірність події $A$ дорівнює кількості сприятливих для $A$ наслідків, поділеній на кількість усіх наслідків. Під час кидання двох гральних кубиків є 36 рівноможливих наслідків, і в шести з них сума очок дорівнює 7, тому $P(\text{сума} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

Імовірності підпорядковуються кільком правилам: вони лежать між 0 і 1, імовірність того, що $A$ не відбудеться, дорівнює $1 - P(A)$ , а ймовірність того, що відбудеться $A$ або $B$ , дорівнює $P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Умовна ймовірність і біноміальний розподіл будуються безпосередньо на цих правилах.

Як користуватися калькулятором імовірностей

Виберіть тип задачі: одна подія, дві незалежні події, умовна ймовірність або біноміальний розподіл.
Для однієї події введіть кількість сприятливих наслідків і загальну кількість рівноможливих наслідків.
Для незалежних подій введіть P(A) і P(B); для умовної ймовірності — P(A і B) і P(B).
Для біноміальної задачі введіть кількість випробувань n, імовірність успіху p і кількість успіхів k, а також укажіть, чи потрібно рівно, не більше, менше, не менше чи більше k.
Натисніть «Обчислити ймовірність» і перегляньте точну відповідь, відсоток і кроки обґрунтування.

Формули

Класичне означення ймовірності

P(A) = \frac{\text{сприятливі наслідки}}{\text{усі наслідки}}

Незалежні події

P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

Умовна ймовірність

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Формула Бернуллі

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Розв'язаний приклад: Два кубики: P(сума 7) = 6/36

У прикладі шукається ймовірність того, що сума очок на двох правильних гральних кубиках дорівнює 7. Сприятливих наслідків 6 — (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) і (6,1) — із 36 можливих, тому $P = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0.1667$ , тобто приблизно 16,67 %.

Калькулятор також знаходить імовірність протилежної події, $1 - \frac16 = \frac56$ , тобто ймовірність будь-якої іншої суми, і шанси на користь події, $6 : 30$ , які порівнюють сприятливі наслідки з несприятливими, а не з усіма.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

Як ми зрозуміли вашу задачу

Одна подія (сприятливих ÷ усього)

Покроковий розв'язок

Ділимо кількість сприятливих наслідків на загальну кількість рівноможливих наслідків
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.16666667$
Протилежна подія: подія не відбувається
$P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \approx 0.83333333$
Шанси на користь події
$6 : 30$

Використані формули

Класична ймовірність
$P(A) = \frac{\text{сприятливі наслідки}}{\text{усі наслідки}}$
Протилежна подія
$P(A') = 1 - P(A)$

Подія відбувається в 6 з 36 рівноможливих наслідків, тому її ймовірність дорівнює 16.666667%; не відбувається вона з імовірністю 83.333333%.

Докладне пояснення

Незалежні події й правило додавання

Дві події незалежні, якщо знання про те, що одна відбулася, не змінює ймовірності іншої, як під час двох окремих підкидань монети. Тоді ймовірність того, що відбудуться обидві, дорівнює добутку. При $P(A) = \frac12$ і $P(B) = 0.3$ обидві події відбуваються з імовірністю $0.15$ , принаймні одна — з імовірністю $0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65$ , рівно одна — $0.65 - 0.15 = 0.5$ , а жодної — $0.5 \times 0.7 = 0.35$ .

Калькулятор перевіряє, що $P(A \cup B) + P(\text{жодної}) = 1$ , — корисний контроль, оскільки ці два випадки разом охоплюють усі наслідки.

Умовна ймовірність

Умовна ймовірність звужує простір наслідків до тих, у яких відбулася $B$ , і питає, як часто в цьому меншому просторі відбувається й $A$ . Якщо 12 % покупців беруть телефон і чохол, а 40 % — телефон, то $P(\text{чохол} \mid \text{телефон}) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$ : 30 % тих, хто купив телефон, беруть і чохол.

Імовірність перетину ніколи не може бути більшою за $P(B)$ , а $P(B)$ має бути строго додатною; в обох випадках калькулятор повідомить про помилку. Пам'ятайте, що $P(A \mid B)$ і $P(B \mid A)$ зазвичай різні й що формула Баєса — інструмент для переходу від однієї до іншої.

Формула Бернуллі

Схема Бернуллі — це $n$ незалежних випробувань, у кожному з яких імовірність успіху та сама, $p$ . Імовірність рівно $k$ успіхів дорівнює кількості способів їх розташувати, $\binom{n}{k}$ , помноженій на ймовірність будь-якого одного такого розташування. Для випадків «не більше», «не менше», «менше» чи «більше» $k$ калькулятор додає відповідні доданки й указує, які саме він додав.

Наприклад, імовірність викинути герб щонайменше 8 разів за 10 підкидань правильної монети дорівнює $\frac{45 + 10 + 1}{1024} \approx 0.0547$ . Калькулятор також наводить математичне сподівання $np$ і стандартне відхилення $\sqrt{np(1-p)}$ розподілу.

Типові помилки

Перемножувати ймовірності залежних подій.
Додавати $P(A)$ і $P(B)$ , не віднімаючи ймовірності перетину, через що сума може перевищити 1.
Плутати $P(A \mid B)$ з $P(B \mid A)$ .
Рахувати наслідки, які не рівноможливі, наприклад вважати суми очок від 2 до 12 на двох кубиках однаково ймовірними.
Плутати шанси з імовірністю: шанси 1 : 5 відповідають імовірності $\frac16$ .

Поради

У запитаннях виду «принаймні одна» використовуйте протилежну подію: $1 - P(\text{жодної})$ зазвичай швидше.
У невеликих задачах перед обчисленнями випишіть простір наслідків або намалюйте дерево ймовірностей.
Записуйте ймовірності дробами, щоб отримати точну відповідь.
Перевіряйте, що всі відповіді лежать між 0 і 1.
Використовуйте калькулятор розміщень і комбінацій, щоб підрахувати наслідки перед діленням.

Поширені запитання

Як знайти ймовірність події?

Поділіть кількість сприятливих наслідків на загальну кількість рівноможливих наслідків. Для суми 7 на двох кубиках виходить 6 ÷ 36 = 1/6.

Як знайти ймовірність того, що відбудуться дві незалежні події?

Перемножте їхні ймовірності. При P(A) = 0,5 і P(B) = 0,3 обидві події відбуваються з імовірністю 0,15.

Що таке умовна ймовірність?

Імовірність події A за умови, що відбулася B: P(A | B) = P(A і B) ÷ P(B). Розглядаються лише ті наслідки, у яких відбувається B.

Коли використовувати біноміальний режим?

Коли у випадковому експерименті фіксована кількість незалежних випробувань, кожне має два можливі наслідки й ту саму ймовірність успіху, а вам потрібна ймовірність певної кількості успіхів.

Чи можна вводити відсотки або дроби?

Так. Імовірності можна задавати десятковим дробом (0,25), звичайним дробом (1/4) або відсотком (25 %). У режимі однієї події кількості мають бути цілими числами.

Чим шанси відрізняються від імовірності?

Імовірність порівнює сприятливі наслідки з усіма наслідками, а шанси — сприятливі з несприятливими. Імовірності 1/6 відповідають шанси на користь події 1 : 5.

Як знайти ймовірність «не менше» в біноміальній задачі?

Виберіть «P(X ≥ k) не менше k». Калькулятор додасть імовірності від k до n і покаже, які доданки він додав.

Спробуйте калькулятор імовірностей

Виберіть тип задачі й отримайте точну ймовірність, відсоток і пояснення кожного кроку.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Про калькулятор імовірностей

Що таке ймовірність?

Як користуватися калькулятором імовірностей

Формули

Класичне означення ймовірності

Незалежні події

Умовна ймовірність

Формула Бернуллі

Розв'язаний приклад: Два кубики: P(сума 7) = 6/36

Відповідь

Як ми зрозуміли вашу задачу

Покроковий розв'язок

Використані формули

Докладне пояснення

Незалежні події й правило додавання

Умовна ймовірність

Формула Бернуллі

Типові помилки

Поради

Поширені запитання

Як знайти ймовірність події?

Як знайти ймовірність того, що відбудуться дві незалежні події?

Що таке умовна ймовірність?

Коли використовувати біноміальний режим?

Чи можна вводити відсотки або дроби?

Чим шанси відрізняються від імовірності?

Як знайти ймовірність «не менше» в біноміальній задачі?

Спробуйте калькулятор імовірностей

Інші математичні калькулятори