Калькулятор z-оцінки

Про калькулятор z-оцінки

z-оцінка показує, наскільки значення віддалене від середнього, в одиницях стандартного відхилення. Вона зводить бали різних іспитів, зріст у різних популяціях чи вимірювання в різних одиницях до спільної шкали, щоб їх можна було безпосередньо порівняти й зрозуміти, наскільки вони незвичайні.

Калькулятор розв'язує шість задач із z-оцінками, що трапляються в курсі статистики: знайти $z$ за значенням, відновити значення за $z$ , знайти площу ліворуч чи праворуч від $z$ , знайти площу між двома z-оцінками й визначити z-оцінку для заданого процентиля. Площі обчислюються безпосередньо за стандартним нормальним розподілом, тож таблиця не потрібна.

Що таке z-оцінка?

Для значення $x$ з генеральної сукупності із середнім $\mu$ і стандартним відхиленням $\sigma$ z-оцінка дорівнює $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . z-оцінка 0 означає, що значення дорівнює середньому; додатна — що воно вище від середнього, від'ємна — що нижче.

Якщо дані розподілені нормально, z-оцінка вказує й процентиль. Площа під кривою стандартного нормального розподілу ліворуч від $z$ , що позначається $\Phi(z)$ , — це частка значень, менших за $x$ .

Як користуватися калькулятором z-оцінки

Виберіть обчислення: z-оцінка за x, початкове значення за z, площа ліворуч, площа праворуч, площа між двома значеннями чи z-оцінка за процентилем.
Введіть дані, яких потребує режим: x, середнє й стандартне відхилення; одну чи дві z-оцінки; або процентиль.
Процентиль можна ввести десятковим дробом, наприклад 0,95, або у відсотках, наприклад 95 %.
Натисніть «Обчислити».
Перегляньте z-оцінку або площу разом з її тлумаченням у вигляді процентиля.

Формули

z-оцінка

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Значення за z

x = \mu + z\sigma

Площа праворуч

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

Площа між двома значеннями

P(z_1 < Z < z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

Розв'язаний приклад: x = 85, μ = 70, σ = 10

У прикладі взято бал $x = 85$ у класі із середнім $\mu = 70$ і стандартним відхиленням $\sigma = 10$ . Віднімаючи середнє, отримуємо 15, а ділячи на стандартне відхилення, отримуємо $z = 1.5$ : бал на півтора стандартного відхилення вищий за середній.

Площа ліворуч від $z = 1.5$ становить приблизно 0,9332: якщо бали розподілені нормально, учень написав краще, ніж приблизно 93,32 % класу.

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

z = 1.5

Як ми зрозуміли вашу задачу

Z-оцінка за x, середнім і стандартним відхиленням

Покроковий розв'язок

Віднімаємо середнє від значення
$x - \mu = 85 - 70 = 15$
Ділимо на стандартне відхилення
$z = \frac{15}{10} = 1.5$
Знаходимо площу ліворуч (процентиль)
$\Phi(1.5) \approx 0.933193$

Використані формули

Z-оцінка
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Функція стандартного нормального розподілу
$\Phi(z) = \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$

85 лежить вище від середнього на 1.5 стандартного відхилення; приблизно 93.32% нормальної сукупності лежить нижче.

Перевірка

Обернена задача: μ + zσ = 70 + (1.5)(10) = 85.

Докладне пояснення

Як читати площі під кривою нормального розподілу

Уся площа під кривою стандартного нормального розподілу дорівнює 1, а крива симетрична відносно 0. Площа ліворуч від $z = 1.25$ становить приблизно 0,8944; площа праворуч від $z = 1.96$ — приблизно 0,025, тому 1,96 і з'являється в 95-відсоткових довірчих інтервалах. Площа між $-1$ і $1$ становить приблизно 0,6827.

З цих площ і виникає емпіричне правило: приблизно 68 % значень нормального розподілу відстоять від середнього менше ніж на одне стандартне відхилення, приблизно 95 % — менше ніж на два й приблизно 99,7 % — менше ніж на три.

Зворотний шлях: від процентиля до z-оцінки

Обернений режим розв'язує рівняння $\Phi(z) = p$ . Для 95-го процентиля він дає $z \approx 1.645$ . Поєднайте це з $x = \mu + z\sigma$ , щоб знайти порогове значення: за середнього 70 і стандартного відхилення 10 95-й процентиль розташований приблизно на $70 + 1.645 \times 10 \approx 86.45$ .

Режим «Початкове значення за z» виконує цей другий крок безпосередньо. Якщо ввести $z = 1.5$ з тим самим середнім і тим самим стандартним відхиленням, він дасть $x = 85$ , тобто обернить початковий приклад.

Порівняння значень у різних шкалах

Припустімо, один учень набрав 85 балів на іспиті із середнім 70 і стандартним відхиленням 10, а інший — 620 на іспиті із середнім 500 і стандартним відхиленням 100. Їхні z-оцінки дорівнюють 1,5 і 1,2, тож перший результат відносно кращий, хоча 620 і здається більшим числом.

z-оцінки допомагають і знаходити викиди: значення з $|z| > 3$ рідкісні в моделі нормального розподілу й заслуговують на повторну перевірку. Зважайте, що тлумачення у вигляді процентиля передбачає приблизно нормальний розподіл даних; для сильно асиметричних даних z-оцінка й надалі вимірює віддаленість від середнього, але знайдена площа може вводити в оману.

Типові помилки

Віднімати в неправильному порядку: потрібно значення мінус середнє, а не середнє мінус значення.
Ділити на дисперсію замість стандартного відхилення.
Указувати площу ліворуч, коли питають імовірність перевищити значення.
Вводити процентиль як 95 замість 95 % або 0,95.
Застосовувати процентилі нормального розподілу до даних, які явно не розподілені нормально.

Поради

Перед обчисленнями намалюйте дзвоноподібну криву й позначте потрібну область.
Користуйтеся симетрією: $P(Z < -z) = P(Z > z)$ .
Запам'ятайте опорні значення 1,645, 1,96 і 2,576 для двобічних інтервалів 90 %, 95 % і 99 %.
Якщо у вас лише початкові дані, спочатку скористайтеся калькулятором стандартного відхилення.
Заокруглюйте z-оцінки до двох знаків після коми лише в самому кінці.

Поширені запитання

Як знайти z-оцінку?

Відніміть середнє від значення й поділіть на стандартне відхилення: z = (x − μ) ÷ σ. Для x = 85, μ = 70 і σ = 10 виходить z = 1,5.

Що означає від'ємна z-оцінка?

Що значення нижче від середнього. z-оцінка −2 означає, що значення на два стандартні відхилення нижче від середнього.

Як перевести z-оцінку в процентиль?

Знайдіть площу під кривою стандартного нормального розподілу ліворуч від z. Для z = 1,5 площа становить приблизно 0,9332, тобто 93-й процентиль.

Як знайти z-оцінку за процентилем?

Виберіть обернений режим і введіть процентиль, наприклад 95 %. Калькулятор видасть z ≈ 1,645.

Яку z-оцінку вважають доброю?

Це залежить від контексту. Значення від −1 до 1 трапляються часто; поза ±2 вони незвичайні, а поза ±3 рідкісні в моделі нормального розподілу.

Чи потрібна таблиця нормального розподілу?

Ні. Калькулятор обчислює площі нормального розподілу безпосередньо, тому значення виходять точнішими, ніж за друкованою таблицею.

Чому калькулятор не приймає стандартне відхилення 0?

Бо ділення на нуль не визначене, а стандартне відхилення 0 означає, що всі значення дорівнюють середньому: стандартизація в цьому разі не має сенсу.

Спробуйте калькулятор z-оцінки

Введіть значення, середнє й стандартне відхилення або процентиль і отримайте z-оцінку й площу з поясненням кожного кроку.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач