Статистика

Середнє, медіана, мода й стандартне відхилення: повний посібник

Автор: MathSolver Pro Editorial Team · Опубліковано 25 жовтня 2026 р.

Середнє, медіана й мода описують центр набору даних, а розмах і стандартне відхилення — його розкид. Уміння обчислювати кожну з цих мір і розуміти, коли вона дає чесне зведення, — основа статистики.

Центр і розкид: два головні запитання

Список чисел важко прочитати з одного погляду. Статистика зводить його до відповідей на два запитання. Де розташований центр даних? І наскільки далеко від цього центру зазвичай лежать значення? Міри центральної тенденції — середнє, медіана й мода — відповідають на перше запитання. Міри розкиду, наприклад розмах, міжквартильний розмах і стандартне відхилення, — на друге.

Потрібні обидві. Два класи можуть мати однаковий середній бал за контрольну, але в одному всі близькі до середнього, а в другому результати простягаються від провалу до максимального балу. Сам лише центр приховує цю різницю, а сам лише розкид нічого не каже про успішність класу загалом.

Середнє

Середнє, або середнє арифметичне, — це сума значень, поділена на їхню кількість. Для набору даних $x_1, x_2, \ldots, x_n$ :

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Приклад 1: середнє восьми результатів тесту

Бали: 72, 85, 90, 85, 68, 95, 85, 77.
Сума: $72 + 85 + 90 + 85 + 68 + 95 + 85 + 77 = 657$ .
Середнє: $\frac{657}{8} = 82.125$ .

Середнє використовує всі значення, що робить його ефективним, але й чутливим. Одне-єдине екстремальне значення, викид, може помітно його зсунути. Зважене середнє надає одним значенням більшої ваги, ніж іншим. Якщо підсумковий іспит дає 60 відсотків оцінки, а домашні роботи — 40 відсотків, то бали 80 і 90 разом дають $0.6(80) + 0.4(90) = 84$ , а не просте середнє 85.

Медіана

Медіана — це серединне за положенням значення після впорядкування даних за зростанням. За непарної кількості значень це єдине значення посередині; за парної — середнє двох центральних значень.

Приклад 2: медіана тих самих результатів

Упорядкуємо бали: 68, 72, 77, 85, 85, 85, 90, 95.
Значень 8, тому центральна пара стоїть на місцях 4 і 5: 85 і 85.
Отже, медіана дорівнює $\frac{85 + 85}{2} = 85$ .

Медіана не враховує, наскільки далеко розташовані крайні значення, тому вона стійка до викидів. Припустімо, п'ятеро людей заробляють 30, 35, 40, 45 і 50 тисяч доларів на рік. І середнє, і медіана дорівнюють 40 тисячам. Якщо додати шосту людину, яка заробляє мільйон доларів, тобто 1 000 тисяч, середнє зросте до 200 тисяч — більше, ніж заробляє будь-хто, крім новачка, — а медіана підніметься лише до 42,5 тисячі. Тому ціни на житло й доходи зазвичай подають через медіану.

Мода

Мода — це значення, яке трапляється найчастіше. У результатах тесту 85 трапляється тричі, тому мода дорівнює 85. Набір даних може мати одну моду, дві (тоді його називають бімодальним), кілька або жодної, якщо кожне значення трапляється рівно один раз.

Мода — єдина міра центру, придатна для якісних даних. Не можна усереднити улюблені кольори чи марки кросівок, але можна сказати, яка з них найпопулярніша. Для числових даних мода корисна передусім тоді, коли значення часто повторюються, наприклад розміри в продажах взуттєвої крамниці: найпродаваніший розмір — саме те, що потрібно знати відділу закупівель.

Яку міру центру вибрати?

Беріть середнє для приблизно симетричних даних без сильних викидів, наприклад зросту людей чи похибок вимірювань.
Беріть медіану для асиметричних даних або даних із викидами, наприклад доходів, цін на житло чи часу очікування.
Беріть моду для категорій або дискретних значень, де важить лише найчастіший варіант.

Порівняння середнього й медіани говорить і про форму даних. Якщо середнє помітно більше за медіану, його тягне вгору довгий хвіст великих значень, і розподіл скошений праворуч. Якщо середнє менше, розподіл скошений ліворуч. У результатах тесту середнє 82,1 менше за медіану 85, бо кілька низьких результатів тягнуть середнє вниз.

Вимірювання розкиду: розмах і стандартне відхилення

Найпростіша міра розкиду — розмах: найбільше значення мінус найменше. Для результатів тесту він дорівнює $95 - 68 = 27$ балам. Розмах легко обчислити, але він цілком залежить від двох найкрайніших значень. Міжквартильний розмах, що вимірює розкид центральної половини даних, стійкіший.

Стандартне відхилення — найпоширеніша міра розкиду. Воно приблизно показує типову відстань значення від середнього. Для всієї генеральної сукупності:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}

Приклад 3: стандартне відхилення вручну

Дані: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. Середнє дорівнює $\frac{40}{8} = 5$ .
Відхилення від середнього: $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ .
Квадрати відхилень: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ , їхня сума дорівнює 32.
Дисперсія генеральної сукупності: $\frac{32}{8} = 4$ , тому стандартне відхилення генеральної сукупності $\sigma = 2$ .
Якщо дані — вибірка, діліть на $n - 1 = 7$ : $s = \sqrt{\frac{32}{7}} \approx 2.14$ .

Різницю між діленням на $n$ і на $n - 1$ та те, чому вона важлива, докладно пояснено в статті як обчислити стандартне відхилення.

Як поєднувати відповідні показники

Добре зведення набору даних містить міру центру й міру розкиду, узгоджені між собою. Середнє природно поєднується зі стандартним відхиленням, бо обидва використовують усі значення й обидва чутливі до викидів. Медіана поєднується з міжквартильним розмахом, бо обидва стійкі. Подавати медіану разом зі стандартним відхиленням — означає змішувати дві різні логіки, що може заплутати.

Для дзвоноподібних даних середнє й стандартне відхилення розповідають напрочуд повну історію: близько 68 відсотків значень лежать ближче ніж за одне стандартне відхилення від середнього, і близько 95 відсотків — ближче ніж за два. Вимірювати відстань значення від середнього в стандартних відхиленнях — саме те, що робить z-оцінка. Калькулятор середнього, медіани й моди обчислює всі міри з цієї статті за вставленим списком, а калькулятор стандартного відхилення показує кожен крок розрахунку розкиду.

Квартилі й міжквартильний розмах

Квартилі ділять упорядковані дані на чотири рівні частини. Простий спосіб — узяти медіану кожної половини. В упорядкованих результатах нижня половина — 68, 72, 77, 85, тому перший квартиль дорівнює $\frac{72 + 77}{2} = 74.5$ . Верхня половина — 85, 85, 90, 95, тому третій квартиль дорівнює $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$ . Міжквартильний розмах дорівнює $87.5 - 74.5 = 13$ балам — це ширина центральної половини класу.

Підручники й програми використовують трохи різні домовленості для квартилів, тому невеликі розбіжності в результатах нормальні й не означають помилки. Поширене правило позначає як можливий викид будь-яке значення, що лежить більш ніж на 1,5 міжквартильного розмаху нижче першого квартиля чи вище третього. Тут межі дорівнюють 55 і 107, тож незвичних результатів немає.

Поширені запитання

Чи можуть середнє, медіана й мода збігатися?

Так. В ідеально симетричному розподілі з однією вершиною, наприклад в ідеальній дзвоноподібній кривій, усі три збігаються. У реальних даних вони зазвичай близькі, але не однакові.

Що, коли набір даних не має моди?

Якщо кожне значення трапляється рівно один раз, моди немає. Деякі підручники натомість кажуть, що модами є всі значення, але твердження про відсутність моди — поширеніша домовленість.

Чому подають медіанний дохід, а не середній?

Доходи сильно скошені праворуч: невелика кількість людей із дуже високими доходами піднімає середнє значно вище за заробіток типової людини. На медіану величина найвищих доходів не впливає, тому вона краще відображає типову людину.

Чи може стандартне відхилення бути від'ємним?

Ні. Це квадратний корінь із середнього квадратів відхилень, тому воно завжди дорівнює нулю або додатне. Нулю воно дорівнює, лише якщо всі значення однакові.

MathSolver Pro Editorial Team

Редакція й математична вичитка

Наша редакція пише кожен посібник так, щоб він пояснював міркування за кожним методом, а не лише відповідь. Кожен розібраний приклад перед публікацією перевіряється рушіями розв'язування сайту й автоматичними тестами, а статті оновлюються, щойно змінюється метод чи формат тесту.