Основи теорії ймовірностей: практичний вступ

Наслідки, події й шкала ймовірностей

Теорія ймовірностей починається з випадкового експерименту, наприклад кидка кубика, і його простору елементарних наслідків — множини всіх можливих наслідків. Для кидка звичайного грального кубика це $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Подія — будь-яка множина наслідків, наприклад випадіння парного числа, тобто множина $\{2, 4, 6\}$.

Будь-яка ймовірність лежить між 0 і 1. Імовірність 0 означає, що подія неможлива, 1 — що вона вірогідна, а 0,5 — що вона настане з тим самим шансом, що й не настане. Імовірності можна записувати дробами, десятковими числами чи відсотками: $\frac{1}{4}$, 0,25 і 25 відсотків означають те саме. Якщо всі наслідки рівноможливі, імовірність події — просте відношення:

Інакше кажучи, це кількість сприятливих наслідків, поділена на кількість усіх можливих наслідків, — так зване класичне означення ймовірності. Тому ймовірність викинути парне число дорівнює $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. З двома кубиками є $6 \times 6 = 36$ рівноможливих упорядкованих наслідків, і шість із них дають суму очок 7, а саме (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) і (6,1), тому $P(\text{сума} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Щоб підраховувати наслідки в більших задачах, використовують методи комбінаторики.

Правило протилежної події

Протилежна до $A$ подія охоплює все, що не належить до $A$. Оскільки одна з них обов'язково настає, їхні ймовірності в сумі дають 1:

Щоразу, коли в задачі трапляються слова «хоча б один», спершу спробуйте протилежну подію. Вона майже завжди перетворює довге обчислення на коротке.

Імовірність об'єднання: A або B

Імовірність того, що настане $A$ або $B$ чи обидві, отримують, додаючи їхні ймовірності й віднімаючи ймовірність перетину, який інакше було б пораховано двічі:

Якщо витягти карту з колоди на 52 карти, імовірність отримати чирву чи короля дорівнює $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$, бо чирвовий король належить до обох груп. Події, які не можуть відбутися одночасно, наприклад 2 і 5 за одного кидка, називають несумісними. Їхній перетин порожній, тому їхні ймовірності просто додаються.

Імовірність перетину: A і B

Дві події незалежні, якщо настання однієї не змінює ймовірності іншої, як в окремих підкиданнях монети. Для незалежних подій імовірності перемножуються:

Тому два герби за двох підкидань випадають з імовірністю $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Якщо події залежні, друга ймовірність має враховувати те, що вже сталося. Якщо витягти дві карти без повернення, імовірність отримати два тузи дорівнює $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$, адже після того як витягнуто одного туза, серед 51 карти залишається лише 3 тузи.

Умовна ймовірність і формула Баєса

Умовна ймовірність — це ймовірність $A$ за умови, що $B$ настала; її позначають $P(A \mid B)$. Знання того, що $B$ настала, звужує простір наслідків до $B$:

Формула Баєса обертає умовну ймовірність, перетворюючи $P(B \mid A)$ на $P(A \mid B)$. Її найвідоміше застосування показує, чому позитивний медичний тест може тривожити менше, ніж здається.

Математичне сподівання

Математичне сподівання гри чи випадкової величини — це середній результат у довгостроковій перспективі; його отримують, множачи кожен наслідок на його ймовірність і додаючи все:

Припустімо, гра платить 10 доларів, якщо на кубику випала шістка, а в решті випадків коштує 2 долари. Математичне сподівання дорівнює $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$: гра справедлива, і після багатьох раундів можна розраховувати вийти в нуль. Ігри в казино влаштовані так, що сподівання для гравця трохи від'ємне, і тому казино заробляють на мільйонах ставок, навіть якщо деякі гравці час від часу виграють. Страхування дотримується того самого принципу з іншого боку: страховик збирає у вигляді внесків трохи більше, ніж розраховує виплатити.

Типові пастки

• Помилка гравця: після п'яти червоних поспіль на чесній рулетці чорне не «мусить» випасти. Кожне обертання незалежне, тому ймовірність не змінюється.
• Додавати ймовірності подій, що перетинаються, не віднімаючи перетину, що може дати ймовірність, більшу за 1.
• Перемножувати ймовірності подій, які не є незалежними.
• Плутати $P(A \mid B)$ і $P(B \mid A)$, як у прикладі з медичним тестом.
• Недооцінювати збіги: у групі лише з 23 людей імовірність того, що двоє мають день народження в один день, становить близько 50,7 відсотка.

Закон великих чисел пояснює, що ймовірність справді гарантує: за дуже багатьох повторень експерименту відносна частота події стабілізується поблизу її ймовірності. Про коротку серію наслідків він нічого не обіцяє. Калькулятор імовірностей покроково розбирає прості, складені й умовні події, а калькулятор перестановок і комбінацій підраховує наслідки, потрібні в багатьох імовірнісних задачах.

Дерева ймовірностей для багатокрокових задач

Якщо експеримент відбувається в кілька етапів, дерево ймовірностей допомагає не пропустити жодного шляху. Підпишіть на кожній гілці її ймовірність, перемножуйте вздовж шляху, щоб отримати ймовірність усієї послідовності, і додавайте шляхи, що утворюють потрібну подію.

Дерева роблять правила шляхів наочними й чітко показують, де ймовірності змінюються від етапу до етапу. Це також найнадійніший спосіб скласти задачу на формулу Баєса, бо кожна гілка другого етапу — умовна ймовірність.

Поширені запитання