Калькулятор виділення повного квадрата — вершина параболи з розв'язанням

Про калькулятор виділення повного квадрата

Виділення повного квадрата перетворює вираз на зразок $2x^2 - 8x + 3$ на $2(x - 2)^2 - 5$ . Друга форма каже набагато більше: з першого погляду видно, що найнижча точка параболи — $(2, -5)$ , що її вітки напрямлені вгору й наскільки вона вузька. Саме цим перетворенням виводять формулу коренів квадратного рівняння й зводять рівняння кола та еліпса до канонічного вигляду.

Калькулятор приймає будь-який старший коефіцієнт, зокрема звичайні й десяткові дроби, як у $0.5x^2 + 3x - 1$ . Для виразу він видає вигляд із вершиною й саму вершину; для рівняння з $= 0$ або іншим значенням доводить розв'язання до точних коренів або пояснює, чому дійсних коренів немає, якщо парабола не перетинає вісь.

Що таке вигляд із виділеним повним квадратом?

Повний квадрат — це тричлен, що дорівнює квадрату двочлена, наприклад $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ . Його вільний член завжди дорівнює квадрату половини коефіцієнта при $x$ . Під час виділення повного квадрата саме це число додають і віднімають, щоб частина виразу стала повним квадратом, тобто згорталася за формулою квадрата суми чи різниці.

Так виходить вигляд $a(x - h)^2 + k$ . Оскільки квадрат ніколи не буває від'ємним, $k$ — це найменше (при $a > 0$ ) або найбільше (при $a < 0$ ) значення виразу, і воно досягається при $x = h$ .

Як користуватися калькулятором виділення повного квадрата

Введіть квадратний тричлен на зразок 2x^2 - 8x + 3 або рівняння на зразок x^2 - 4x - 1 = 0.
Коефіцієнти можуть бути цілими числами, звичайними або десятковими дробами.
Натисніть «Виділити повний квадрат». Калькулятор визначить a, b і c, винесе a за дужки з членів з x, а потім додасть і відніме квадрат половини коефіцієнта при x.
Прочитайте вигляд із вершиною й саму вершину. Для рівняння простежте крок із добуванням кореня до точних розв'язків.

Формули

Повний квадрат

x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2

Загальний вигляд із вершиною

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Вершина

(h, k) = \left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Розв'язаний приклад: 2x² − 8x + 3

У прикладі виділяється повний квадрат у $2x^2 - 8x + 3$ . Оскільки $a = 2$ , калькулятор спершу виносить 2 за дужки з членів з $x$ : $2(x^2 - 4x) + 3$ . Половина від $-4$ дорівнює $-2$ , а її квадрат дорівнює 4.

Додавши й віднявши 4 у дужці, отримуємо $2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$ : вигляд із вершиною — $2(x - 2)^2 - 5$ , а вершина — $(2, -5)$ .

Розв'язок нижче побудовано тим самим обчислювальним рушієм, що й калькулятор вище.

Відповідь

2(x - 2)^{2} - 5

Як ми зрозуміли вашу задачу

Зводимо квадратний тричлен до вигляду з виділеною вершиною, виділяючи повний квадрат.

Покроковий розв'язок

Визначаємо a, b і c
a = 2, b = -8, c = 3
$2x^{2} - 8x + 3$
Виносимо a = 2 за дужки з членів з x
$2\left(x^2 - 4x\right) + 3$
Беремо половину коефіцієнта при x і підносимо її до квадрата
Половина від -4 дорівнює -2; її квадрат дорівнює 4.
$\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$
Додаємо й віднімаємо цей квадрат усередині дужки
Додавання 4 дає повний квадрат; віднімання зберігає значення незмінним (від'ємник під час виходу з дужки множиться на a = 2).
$2\left(x^2 -4x + 4\right) - 8 + 3$
Записуємо повний квадрат і об'єднуємо вільні члени
$2(x - 2)^{2} - 5$
Знаходимо вершину
У a(x − h)² + k вершина — (h, k) = (2, -5); вісь симетрії — x = 2. Оскільки a > 0, вітки параболи напрямлені вгору, і k — найменше значення.

Використані формули

Виділення повного квадрата
$ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$
Вершина
$h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$

Вигляд із вершиною: 2(x - 2)^2 - 5. Вершина (2, -5).

Перевірка

Розкривши дужки в 2(x - 2)^2 - 5, знову отримуємо 2x^2 - 8x + 3.

Докладне пояснення

Чому квадрат половини коефіцієнта?

Якщо розкрити $(x + p)^2$ , вийде $x^2 + 2px + p^2$ . Порівнюючи з $x^2 + bx$ , бачимо, що середні члени збігаються при $2p = b$ , тобто $p = b/2$ , а вільний член, якого бракує, дорівнює $p^2 = (b/2)^2$ . Геометрично $x^2 + bx$ — це квадрат зі стороною $x$ і два прямокутники $x \times b/2$ ; маленький кутовий квадрат площею $(b/2)^2$ доповнює фігуру до великого квадрата, звідси й назва.

Коли старший коефіцієнт не дорівнює 1

Виносьте $a$ за дужки лише з членів з $x^2$ і $x$ , а вільний член залишайте зовні. Виділіть повний квадрат у дужці й помножте від'ємний квадрат на $a$ , коли виносите його з дужки. Забути це множення — найчастіша помилка: у прикладі $-4$ у дужці перетворюється зовні на $-8$ .

Якщо $a$ від'ємне, вітки параболи напрямлені вниз, а вершина — точка максимуму. Калькулятор виносить від'ємний коефіцієнт точно так само, через що знаки в дужці змінюються.

Розв'язання рівняння виділенням повного квадрата

Для $x^2 - 4x - 1 = 0$ виділення повного квадрата дає $(x - 2)^2 = 5$ . Добуваючи квадратний корінь з обох частин з обома знаками, отримуємо $x - 2 = \pm\sqrt5$ , тобто $x = 2 \pm \sqrt5$ . Якщо повторити ті самі кроки з буквами замість чисел, вийде формула коренів квадратного рівняння.

Якщо права частина від'ємна, як у $(x + 3)^2 = -4$ , що випливає з $x^2 + 6x + 13 = 0$ , дійсних коренів немає. Калькулятор повідомляє про це й указує також комплексну пару $-3 \pm 2i$ , отриману за допомогою $\sqrt{-4} = 2i$ .

Як прочитати графік за виглядом із вершиною

Вигляд із вершиною описує параболу як зсув графіка $y = x^2$ . Значення $h$ зсуває криву праворуч (або ліворуч, якщо $h$ від'ємне), $k$ — угору чи вниз, а $a$ розтягує її по вертикалі й відбиває, якщо воно від'ємне. Вісь симетрії — вертикальна пряма $x = h$ : точки на однаковій відстані по обидва боки від $h$ мають однакове значення y.

Це значно пришвидшує побудову ескізу. Для $2(x - 2)^2 - 5$ позначте вершину $(2, -5)$ і відступіть на одну одиницю в кожен бік: значення y збільшується на $a \cdot 1^2 = 2$ , що дає $(1, -3)$ і $(3, -3)$ . Множина значень читається одразу, $y \ge -5$ , тому вигляд із вершиною — природна відправна точка для питань про область визначення й множину значень.

Типові помилки

Додавати $(b/2)^2$ , не віднімаючи його потім, через що вираз змінюється.
Підносити до квадрата $b$ замість $b/2$ .
Забувати помножити від'ємний квадрат на $a$ , коли $a \ne 1$ .
Під час розв'язання рівняння враховувати лише додатний корінь.
Вважати, що вершина $a(x + 3)^2 + k$ розташована при $x = 3$ ; насправді вона при $x = -3$ .

Поради

Записуйте $x - h$ явно: $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ , тому $h = -3$ .
Перевіряйте вигляд із вершиною, розкриваючи дужки й повертаючись до загального вигляду.
Якщо $b$ непарне, працюйте зі звичайними дробами, а не з десятковими; половина від 5 дорівнює $\tfrac52$ .
Для швидкої перевірки порівнюйте свою вершину з $h = -b/(2a)$ .

Поширені запитання

Що таке вигляд із вершиною?

Це запис квадратного тричлена у формі a, помножене на (x мінус h) у квадраті, плюс k. Точка (h, k) — вершина параболи, а a визначає напрям віток і розтяг.

Як виділити повний квадрат, якщо a не дорівнює 1?

Винесіть a за дужки з членів з x у квадраті та x, виділіть повний квадрат у дужці й помножте від'ємну сталу на a, коли виносите її з дужки.

Що краще: виділення повного квадрата чи формула коренів?

Обидва способи дають ті самі корені. Виділення повного квадрата додатково дає вершину, яка допомагає будувати графік, і саме за його допомогою доводять формулу коренів квадратного рівняння.

Що робити, якщо коефіцієнт при x непарний?

Працюйте з дробами. Для x у квадраті плюс 5x додайте й відніміть 25/4 і отримайте (x плюс 5/2) у квадраті мінус 25/4.

Чи може виділення повного квадрата привести до комплексних коренів?

Так. Якщо квадрат дорівнює від'ємному числу, дійсних коренів немає. Калькулятор повідомляє про це й указує також пару комплексно спряжених коренів вигляду a плюс-мінус bi.

Як застосовувати цей метод до кіл?

Якщо виділити повний квадрат окремо за x і за y, рівняння на зразок x у квадраті плюс y у квадраті мінус 4x плюс 6y дорівнює 3 зводиться до канонічного рівняння кола, з якого видно центр і радіус.

Спробуйте калькулятор виділення повного квадрата

Введіть квадратний тричлен і отримайте вигляд із вершиною, вершину й точні корені.

Відкрити калькулятор Запитати ШІ-розв'язувач

Виділення повного квадрата