المتتاليات والمتسلسلاتالجبرالجامعة≈ 2:36

أوجد قيمة مجموع 1/n² من n=1 إلى ∞

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: المتسلسلة تقاربية (اختبار المقارنة للنهايات مع Σ 1/n^2); المجموع ≈ 1.644934067 (يطابق π²/6 لأكثر من 10 أرقام).

السرعةاللغة

الفصول

النص

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

فيديو باللغة الإنجليزية: تنزيل MP4 (0.9 MB) · الترجمة (WebVTT): العربية · ترجمة مصاحبة باللغة الإنجليزية (WebVTT)

الخطوات على الشاشة

1. المسألة
مثال محلول
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
2. خطوة بخطوة
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
  اكتب المتسلسلة
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
  اختبار الحد النوني
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
  المقارنة النهائية مع متسلسلة p
4. قدّر المجموع عدديًا
3. الإجابة
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{تتقارب} \approx 1.644934067$
limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 1.644934067 (matches π²/6 to 10+ digits)
4. التحقق
- المجاميع الجزئية (دليل داعم، لا برهان): S₁₀ = 1.5497677، S₁₀₀ = 1.6349839، S₁₀₀₀ = 1.6439346، S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

النص الكامل

المسألة. إليك المسألة: أوجد قيمة مجموع 1/n تربيع من n يساوي 1 إلى ما لا نهاية. حدّد هل المتسلسلة Σ 1 / n تربيع (n من 1 إلى ∞) تتقارب أم تتباعد.

خطوة بخطوة. اكتب المتسلسلة. Σ a(n) حيث n يساوي 1, 2, 3، … مع a(n) يساوي 1 / n تربيع. الحدود الأولى: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625، …. اختبار الحد النوني. lim a(n) يساوي 0، لذا فاختبار التباعد غير حاسم؛ فالحدود تتناقص فعلًا، ولذلك يلزم اختبار أدق. المقارنة النهائية مع متسلسلة p. حدود موجبة: تتناقص الحدود تقريبًا مثل 1/n تربيع (تقدير من a(2N)/a(N))، لذا نقارن مع Σ 1/n تربيع: lim a(n) ضرب n تربيع يساوي 1. والنهاية عدد موجب منتهٍ، لذا تسلك المتسلسلة تمامًا مثل متسلسلة p ‏Σ 1/n تربيع، التي تتقارب لأن p أكبر من 1. قدّر المجموع عدديًا. حُسبت المجاميع الجزئية S N لعدة قيم N واستُكملت إلى N → ∞ (استكمال ريتشاردسون؛ تُؤخذ أولًا المتوسطات للحدود المتناوبة). يتفق استكمالان مستقلان بدقة أفضل من 10 أس ناقص 10، ويعطيان S تقريبًا 1.644934067. أي صيغة مغلقة معروضة هي مطابقة عددية وليست برهانًا.

الإجابة. إذن الإجابة هي المتسلسلة تقاربية (اختبار المقارنة للنهايات مع Σ 1/n تربيع); المجموع تقريبًا 1.644934067 (يطابق باي تربيع/6 لأكثر من 10 أرقام). تتقارب المتسلسلة حين تقترب مجاميعها الجزئية من عدد منتهٍ. ولكي يحدث ذلك يجب أن تؤول الحدود إلى 0، لكن هذا وحده لا يكفي (فالمتسلسلة التوافقية تتباعد)، لذا يُستخدم للحسم اختبار المقارنة أو النسبة أو الجذر أو المتسلسلة المتناوبة أو التكامل.

التحقق. المجاميع الجزئية (دليل داعم، لا برهان): S₁₀ يساوي 1.5497677، S₁₀₀ يساوي 1.6349839، S₁₀₀₀ يساوي 1.6439346، S₁₀₀₀₀ يساوي 1.6448341.

الخطوات على الشاشة

النص الكامل

دروس مشابهة