Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 1:02

Bestimmtes Integral von x sin(x) von 0 bis π

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: 3.141592654 = π.

GeschwindigkeitSprache

Kapitel

Transkript

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.4 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx$
2. Schritte, Teil 1
1. $\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx$
  Mit dem bestimmten Integral beginnen
2. $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
  Partielle Integration (Tabellenverfahren)
3. $\int x \sin\left( x\right)\,dx = \sin\left( x\right)- x \cos\left( x\right)$
  Die Produkte mit abwechselnden Vorzeichen zusammenfassen
4. $F(x) = \sin\left( x\right)- x \cos\left( x\right)$
  Stammfunktion
3. Schritte, Teil 2
1. $F(\pi) - F(0) = 3.141592654 - 0 = 3.141592654$
  Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
4. Die Antwort
$\int_{0}^{\pi} x \sin\left( x\right)\,dx = 3.141592654$
∫ from 0 to π = 3.141592654 = π
5. Probe
- Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen ✓
- Die adaptive Simpsonregel liefert 3.141592654 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimmtes Integral von x sin(x) von 0 bis pi. Berechne das bestimmte Integral von x sin(x) von x gleich 0 bis x gleich pi.

Schritte, Teil 1. Mit dem bestimmten Integral beginnen. Partielle Integration (Tabellenverfahren). Das Polynom x ableiten, bis es 0 erreicht, sin(x) ebenso oft integrieren und mit abwechselnden Vorzeichen zusammensetzen. Die Produkte mit abwechselnden Vorzeichen zusammenfassen. Stammfunktion.

Schritte, Teil 2. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Die Antwort. Die Antwort lautet also 3.141592654 gleich pi. Ein bestimmtes Integral liefert die orientierte Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ.

Probe. Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen, das stimmt. Die adaptive Simpsonregel liefert 3.141592654, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

Transkript

Ähnliche Lektionen