Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 0:57

Integriere x eˣ von 0 bis 1

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\int_{0}^{1} x {e}^{x}\,dx$
2. Schritte, Teil 1
1. $\int_{0}^{1} x {e}^{x}\,dx$
  Mit dem bestimmten Integral beginnen
2. $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
  Partielle Integration (Tabellenverfahren)
3. $\int x {e}^{x}\,dx = {e}^{x} \left( x-1\right)$
  Die Produkte mit abwechselnden Vorzeichen zusammenfassen
4. $F(x) = {e}^{x} \left( x-1\right)$
  Stammfunktion
3. Schritte, Teil 2
1. $F(1) - F(0) = 0 - \left(-1\right) = 1$
  Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
4. Die Antwort
$\int_{0}^{1} x {e}^{x}\,dx = 1$
∫ from 0 to 1 = 1
5. Probe
- Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen ✓
- Die adaptive Simpsonregel liefert 1 ✓

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Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integriere x e hoch x von 0 bis 1. Berechne das bestimmte Integral von x e hoch x von x gleich 0 bis x gleich 1.

Schritte, Teil 1. Mit dem bestimmten Integral beginnen. Partielle Integration (Tabellenverfahren). Das Polynom x ableiten, bis es 0 erreicht, e hoch x ebenso oft integrieren und mit abwechselnden Vorzeichen zusammensetzen. Die Produkte mit abwechselnden Vorzeichen zusammenfassen. Stammfunktion.

Schritte, Teil 2. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Die Antwort. Die Antwort lautet also 1. Ein bestimmtes Integral liefert die orientierte Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ.

Probe. Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen, das stimmt. Die adaptive Simpsonregel liefert 1, das stimmt.

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