AbleitungenAnalysisHochschule≈ 1:35

Ableitung von (√(x³)((eˣ+1)³

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{x}^{3}} {\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\right]$
2. Schritte, Teil 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{x}^{3}} {\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\right] = \frac{\frac{{x}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\cdot3}{2}+3 {\sqrt{{x}^{3}}}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{2} {e}^{x}}{\sqrt{{x}^{3}}}$
  Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[{\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\right] = 3 {\left({e}^{x}+1\right)}^{2} {e}^{x}$
  Potenzregel mit Kettenregel: d/dx[uⁿ] = n·uⁿ⁻¹·u′
3. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten
4. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  Ableitung der Exponentialfunktion: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. Schritte, Teil 2
1. $\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{x}^{3}}\right] = \frac{\frac{{x}^{2}\cdot3}{2}}{\sqrt{{x}^{3}}}$
  Kettenregel — d/dx[√u] = u′/(2√u)
2. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{3}\right] = 3{x}^{2}$
  Potenzregel: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
3. $f'(x) = \frac{\frac{{x}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\cdot3}{2}+3 {\sqrt{{x}^{3}}}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{2} {e}^{x}}{\sqrt{{x}^{3}}}$
  Zusammenfassen und vereinfachen
4. Die Antwort
$f'(x) = \frac{\frac{{x}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{3}\cdot3}{2}+3 {\sqrt{{x}^{3}}}^{2} {\left({e}^{x}+1\right)}^{2} {e}^{x}}{\sqrt{{x}^{3}}}$
f'(x) = (x²(e^x + 1)³·3/2 + 3sqrt(x³)²(e^x + 1)²e^x) / sqrt(x³)
5. Probe
- Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Ableitung von (sqrt(x hoch drei))((e hoch x plus 1) hoch drei). Bestimme die Ableitung von (sqrt(x hoch drei)) ((e hoch x plus 1) hoch drei) nach x.

Schritte, Teil 1. Produktregel: (uv) Strich gleich u Strich v plus uv Strich. Potenzregel mit Kettenregel: d nach d x[u hoch n] gleich n mal u hoch n minus 1 mal u Strich. Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten. Ableitung der Exponentialfunktion: d nach d x[eᵘ] gleich eᵘ mal u Strich.

Schritte, Teil 2. Kettenregel — d nach d x[die Wurzel aus u] gleich u Strich /(2die Wurzel aus u. Potenzregel: d nach d x[x hoch n] gleich n mal x hoch n minus 1. Zusammenfassen und vereinfachen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also f Strich von x gleich (x hoch zwei(e hoch x plus 1) hoch drei mal 3 durch 2 plus 3sqrt(x hoch drei) hoch zwei(e hoch x plus 1) hoch zweie hoch x / sqrt(x hoch drei). Die Ableitung wird von außen nach innen gebildet: Summen werden in Summanden zerlegt, konstante Faktoren bleiben stehen, für Produkte und Quotienten gelten eigene Regeln, und jede verkettete Funktion wird mit der Ableitung ihrer inneren Funktion multipliziert (Kettenregel).

Probe. Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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