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Aufgabe lösen
GrenzwerteAnalysisHochschule≈ 2:19

Bestimme lim x→0 (1 - cos(2x))/x²

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: Grenzwert = 2.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.9 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}}
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2=lim⁡x→02sin⁡(2x)2x\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x}
      Unbestimmter Ausdruck 0/0 — Regel von L'Hospital anwenden
    2. lim⁡x→02sin⁡(2x)2x=lim⁡x→0sin⁡(2x)x\lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x}
      Kürzen
    3. lim⁡x→0sin⁡(2x)x=lim⁡x→02cos⁡(2x)1\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1}
      Unbestimmter Ausdruck 0/0 — Regel von L'Hospital anwenden
    4. lim⁡x→02cos⁡(2x)1=lim⁡x→02cos⁡(2x)\lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right)
      Kürzen
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. lim⁡x→02cos⁡(2x)=2cos⁡(2(0))=2\lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right) = 2\cos\left(2\left(0\right)\right) = 2
      Direktes Einsetzen
  4. 4. Die Antwort
    lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2=2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = 2

    lim x→0 (1 - cos(2x)) / x² = 2

  5. 5. Probe
    • Numerische Werte von rechts: f(0.01) = 1.9999333, f(0.001) = 1.9999993, f(0.0001) = 2, f(0.00001) = 2.0000002 (kein klarer Trend bei dieser Genauigkeit)
    • Numerische Werte von links: f(-0.01) = 1.9999333, f(-0.001) = 1.9999993, f(-0.0001) = 2, f(-0.00001) = 2.0000002 (kein klarer Trend bei dieser Genauigkeit)

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme lim x- größer als 0 (1 minus cos(2x))/x hoch zwei. Bestimme den Grenzwert von (1 minus cos(2x)) / x hoch zwei für x → 0.

Schritte, Teil 1. Unbestimmter Ausdruck 0 durch 0 — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Kürzen. Unbestimmter Ausdruck 0 durch 0 — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Kürzen.

Schritte, Teil 2. Direktes Einsetzen. Der Term ist bei x gleich 0 stetig, also ist der Grenzwert gleich seinem Funktionswert dort.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Grenzwert gleich 2. Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, nicht unbedingt den Wert, den sie annimmt. Liefert das Einsetzen einen unbestimmten Ausdruck, wird der Term umgeformt (Regel von L Strich Hospital, Erweitern mit dem konjugierten Term oder Logarithmieren), bis das Einsetzen funktioniert.

Probe. Numerische Werte von rechts: f(0.01) gleich 1.9999333, f(0.001) gleich 1.9999993, f(0.0001) gleich 2, f(0.00001) gleich 2.0000002 (kein klarer Trend bei dieser Genauigkeit). Numerische Werte von links: f(minus 0.01) gleich 1.9999333, f(minus 0.001) gleich 1.9999993, f(minus 0.0001) gleich 2, f(minus 0.00001) gleich 2.0000002 (kein klarer Trend bei dieser Genauigkeit).

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Bestimme lim x→0 (1 - cos(2x))/x²: Videolektion Schritt für Schritt