GrenzwerteAnalysisHochschule≈ 2:11

Bestimme lim x→0 (e^(3x)-1)/sin(x)

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)}$
2. Schritt für Schritt
1. $\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{3{e}^{3x}}{\cos\left( x\right)}$
  Unbestimmter Ausdruck 0/0 — Regel von L'Hospital anwenden
2. $\lim_{x \to 0} \frac{3{e}^{3x}}{\cos\left( x\right)} = \frac{3{e}^{3\left(0\right)}}{\cos\left(0\right)} = 3$
  Direktes Einsetzen
3. Die Antwort
$\lim_{x \to 0} \frac{{e}^{3x}-1}{\sin\left( x\right)} = 3$
lim x→0 (e^(3x) - 1) / sin(x) = 3
4. Probe
- Numerische Werte von rechts stimmen überein: f(0.01) = 3.0455042, f(0.001) = 3.004505, f(0.0001) = 3.0004501, f(0.00001) = 3.000045 ✓
- Numerische Werte von links stimmen überein: f(-0.01) = 2.9554959, f(-0.001) = 2.995505, f(-0.0001) = 2.99955, f(-0.00001) = 2.999955 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme lim x- größer als 0 (e hoch 3x minus 1)/sin(x). Bestimme den Grenzwert von (e hoch 3x minus 1) / sin(x) für x → 0.

Schritt für Schritt. Unbestimmter Ausdruck 0 durch 0 — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Direktes Einsetzen. Der Term ist bei x gleich 0 stetig, also ist der Grenzwert gleich seinem Funktionswert dort.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Grenzwert gleich 3. Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, nicht unbedingt den Wert, den sie annimmt. Liefert das Einsetzen einen unbestimmten Ausdruck, wird der Term umgeformt (Regel von L Strich Hospital, Erweitern mit dem konjugierten Term oder Logarithmieren), bis das Einsetzen funktioniert.

Probe. Numerische Werte von rechts stimmen überein: f(0.01) gleich 3.0455042, f(0.001) gleich 3.004505, f(0.0001) gleich 3.0004501, f(0.00001) gleich 3.000045, das stimmt. Numerische Werte von links stimmen überein: f(minus 0.01) gleich 2.9554959, f(minus 0.001) gleich 2.995505, f(minus 0.0001) gleich 2.99955, f(minus 0.00001) gleich 2.999955, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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