GrenzwerteAnalysisHochschule≈ 2:00

Bestimme lim x→∞ (5x³ - x)/(2x³ + 7)

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\lim_{x \to \infty} \frac{5{x}^{3}- x}{2{x}^{3}+7}$
2. Schritt für Schritt
1. $\lim_{x \to \infty} \frac{5{x}^{3}- x}{2{x}^{3}+7} = \lim_{x \to \infty} \frac{15{x}^{2}-1}{6{x}^{2}}$
  Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L'Hospital anwenden
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{15{x}^{2}-1}{6{x}^{2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{30x}{12x}$
  Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L'Hospital anwenden
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{30x}{12x} = \frac{5}{2}$
  Kürzen
4. $\lim_{x \to \infty} \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$
  Der Ausdruck ist konstant
3. Die Antwort
$\lim_{x \to \infty} \frac{5{x}^{3}- x}{2{x}^{3}+7} = \frac{5}{2} \approx 2.5$
lim x→∞ (5 x³ - x) / (2 x³ + 7) = 5/2 ≈ 2.5
4. Probe
- Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) = 2.4999648, f(1271.8281) = 2.4999997, f(12718.281) = 2.5, f(127182.81) = 2.5 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme lim x- größer als Unendlichkeit (5x hoch drei minus x)/(2x hoch drei plus 7). Bestimme den Grenzwert von (5 x hoch drei minus x) / (2 x hoch drei plus 7) für x → ∞.

Schritt für Schritt. Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Kürzen. Der Ausdruck ist konstant.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Grenzwert gleich 5 durch 2 ungefähr 2.5. Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, nicht unbedingt den Wert, den sie annimmt. Liefert das Einsetzen einen unbestimmten Ausdruck, wird der Term umgeformt (Regel von L Strich Hospital, Erweitern mit dem konjugierten Term oder Logarithmieren), bis das Einsetzen funktioniert.

Probe. Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) gleich 2.4999648, f(1271.8281) gleich 2.4999997, f(12718.281) gleich 2.5, f(127182.81) gleich 2.5, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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