Bestimme lim x→0 1/x²

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme lim x- größer als 0 1/x hoch zwei. Bestimme den Grenzwert von 1 / x hoch zwei für x → 0.

Schritt für Schritt. Zähler ungleich null über einem Nenner, der gegen 0 geht. Der Zähler nähert sich 1, während der Nenner sich 0 nähert, also wächst der Quotient über alle Grenzen. Sein Vorzeichen auf jeder Seite entscheidet über +∞ oder −∞: von rechts der Quotient → ∞; von links der Quotient → ∞. Ergebnis. Die Funktion ist unbeschränkt, also ist der Grenzwert +∞ (streng genommen existiert der Grenzwert nicht als reelle Zahl; die Funktion divergiert gegen +∞).

Die Antwort. Die Antwort lautet also Grenzwert gleich ∞. Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, nicht unbedingt den Wert, den sie annimmt. Liefert das Einsetzen einen unbestimmten Ausdruck, wird der Term umgeformt (Regel von L Strich Hospital, Erweitern mit dem konjugierten Term oder Logarithmieren), bis das Einsetzen funktioniert.

Probe. Numerische Werte von rechts stimmen überein: f(0.01) gleich 10000, f(0.001) gleich 1000000, f(0.0001) gleich 100000000, f(0.00001) gleich 10000000000, das stimmt. Numerische Werte von links stimmen überein: f(minus 0.01) gleich 10000, f(minus 0.001) gleich 1000000, f(minus 0.0001) gleich 100000000, f(minus 0.00001) gleich 10000000000, das stimmt.