GrenzwerteAnalysisHochschule≈ 2:20

Bestimme lim x→∞ (1+3/x)ˣ

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x}$
2. Schritte, Teil 1
1. $\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x} = e^{\,\lim_{x \to \infty} \left[ x \ln\left(1+\frac{3}{x}\right)\right]}$
  Unbestimmter Ausdruck 1^∞ — logarithmieren
2. $\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1+\frac{3}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$
  Unbestimmter Ausdruck 0·∞ — als Quotient umschreiben
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{3}{{x}^{2}}}{\frac{3}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}$
  Unbestimmter Ausdruck 0/0 — Regel von L'Hospital anwenden
4. $\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{3}{{x}^{2}}}{\frac{3}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\frac{3}{x}+1}$
  Kürzen
3. Schritte, Teil 2
1. $\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\frac{3}{x}+1} = \lim_{t \to 0} \frac{3}{3\mathrm{t}+1} = 3$
  Setze x = 1/t (t → 0⁺) ein
2. $\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x} = e^{3} = {e}^{3}$
  Das Ergebnis exponentiieren
4. Die Antwort
$\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x} = {e}^{3} \approx 20.08553692$
lim x→∞ (1 + 3 / x)^x = e³ ≈ 20.08553692
5. Probe
- Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) = 19.397896, f(1271.8281) = 20.014707, f(12718.281) = 20.078433, f(127182.81) = 20.084826 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme lim x- größer als Unendlichkeit (1 plus 3/x) hoch x. Bestimme den Grenzwert von (1 plus 3 / x) hoch x für x → ∞.

Schritte, Teil 1. Unbestimmter Ausdruck 1^∞ — logarithmieren. Schreibe die Potenz als e hoch Exponent mal ln Basis); da eᵘ stetig ist, ist der Grenzwert e hoch dem Grenzwert des Exponenten. Unbestimmter Ausdruck 0 mal ∞ — als Quotient umschreiben. Bringt man einen Faktor als Kehrwert in den Nenner, wird aus 0 mal ∞ ein 0 durch 0 oder ∞/∞. Unbestimmter Ausdruck 0 durch 0 — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Kürzen.

Schritte, Teil 2. Setze x gleich 1/t (t → 0 hoch plus ) ein. Das Ergebnis exponentiieren.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Grenzwert gleich e hoch drei ungefähr 20.08553692. Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, nicht unbedingt den Wert, den sie annimmt. Liefert das Einsetzen einen unbestimmten Ausdruck, wird der Term umgeformt (Regel von L Strich Hospital, Erweitern mit dem konjugierten Term oder Logarithmieren), bis das Einsetzen funktioniert.

Probe. Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) gleich 19.397896, f(1271.8281) gleich 20.014707, f(12718.281) gleich 20.078433, f(127182.81) gleich 20.084826, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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