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Aufgabe lösen
GrenzwerteAnalysisHochschule≈ 2:20

Bestimme lim x→∞ (1+1/x)ˣ

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: Grenzwert = e ≈ 2.718281828.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.8 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    lim⁡x→∞(1+1x)x\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x}
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. lim⁡x→∞(1+1x)x=e lim⁡x→∞[xln⁡(1+1x)]\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e^{\,\lim_{x \to \infty} \left[ x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}
      Unbestimmter Ausdruck 1^∞ — logarithmieren
    2. lim⁡x→∞xln⁡(1+1x)=lim⁡x→∞ln⁡(1+1x)1x\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}
      Unbestimmter Ausdruck 0·∞ — als Quotient umschreiben
    3. lim⁡x→∞ln⁡(1+1x)1x=lim⁡x→∞−1x21x+1−1x2\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{\frac{1}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Unbestimmter Ausdruck 0/0 — Regel von L'Hospital anwenden
    4. lim⁡x→∞−1x21x+1−1x2=lim⁡x→∞11x+1\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{\frac{1}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}+1}
      Kürzen
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. lim⁡x→∞11x+1=lim⁡t→01t+1=1\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}+1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\mathrm{t}+1} = 1
      Setze x = 1/t (t → 0⁺) ein
    2. lim⁡x→∞(1+1x)x=e1=e\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e^{1} = e
      Das Ergebnis exponentiieren
  4. 4. Die Antwort
    lim⁡x→∞(1+1x)x=e≈2.718281828\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e \approx 2.718281828

    lim x→∞ (1 + 1 / x)^x = e ≈ 2.718281828

  5. 5. Probe
    • Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) = 2.7076718, f(1271.8281) = 2.7172139, f(12718.281) = 2.718175, f(127182.81) = 2.7182711 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme lim x- größer als Unendlichkeit (1 plus 1/x) hoch x. Bestimme den Grenzwert von (1 plus 1 / x) hoch x für x → ∞.

Schritte, Teil 1. Unbestimmter Ausdruck 1^∞ — logarithmieren. Schreibe die Potenz als e hoch Exponent mal ln Basis); da eᵘ stetig ist, ist der Grenzwert e hoch dem Grenzwert des Exponenten. Unbestimmter Ausdruck 0 mal ∞ — als Quotient umschreiben. Bringt man einen Faktor als Kehrwert in den Nenner, wird aus 0 mal ∞ ein 0 durch 0 oder ∞/∞. Unbestimmter Ausdruck 0 durch 0 — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Kürzen.

Schritte, Teil 2. Setze x gleich 1/t (t → 0 hoch plus ) ein. Das Ergebnis exponentiieren.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Grenzwert gleich e ungefähr 2.718281828. Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, nicht unbedingt den Wert, den sie annimmt. Liefert das Einsetzen einen unbestimmten Ausdruck, wird der Term umgeformt (Regel von L Strich Hospital, Erweitern mit dem konjugierten Term oder Logarithmieren), bis das Einsetzen funktioniert.

Probe. Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) gleich 2.7076718, f(1271.8281) gleich 2.7172139, f(12718.281) gleich 2.718175, f(127182.81) gleich 2.7182711, das stimmt.

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