GrenzwerteAnalysisHochschule≈ 2:09

Bestimme lim x→∞ √(x²+x) - x

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: Grenzwert = 1/2 ≈ 0.5.

GeschwindigkeitSprache

Kapitel

Transkript

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.8 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x$
2. Schritt für Schritt
1. $\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+ x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}+ x}$
  Unbestimmter Ausdruck ∞ − ∞ — umschreiben
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+ x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}+ x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}}+1}$
  Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L'Hospital anwenden
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}}+1} = 0.5$
  Grenzwertverhalten auswerten
4. $\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \frac{1}{2}$
  Wert identifizieren
3. Die Antwort
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \frac{1}{2}$
lim x→∞ sqrt(x² + x) - x = 1/2 ≈ 0.5
4. Probe
- Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) = 0.49902101, f(1271.8281) = 0.49990175, f(12718.281) = 0.49999017, f(127182.81) = 0.49999902 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Bestimme lim x- größer als Unendlichkeit sqrt(x hoch zwei plus x) minus x. Bestimme den Grenzwert von sqrt(x hoch zwei plus x) minus x für x → ∞.

Schritt für Schritt. Unbestimmter Ausdruck ∞ minus ∞ — umschreiben. Mit dem Konjugierten multiplizieren: (u minus v)(u plus v)/(u plus v) gleich (u hoch zwei minus v hoch zwei)/(u plus v). Unbestimmter Ausdruck ∞/∞ — Regel von L Strich Hospital anwenden. Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel). Grenzwertverhalten auswerten. Das dominante Verhalten jedes Teils bestimmt den Grenzwert. Wert identifizieren. Der umgeschriebene Ausdruck nähert sich 0.5 an, was 1 durch 2 bis auf 10 hoch minus 6 entspricht; die konvergierenden numerischen Werte unten bestätigen dies.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Grenzwert gleich 1 durch 2 ungefähr 0.5. Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, nicht unbedingt den Wert, den sie annimmt. Liefert das Einsetzen einen unbestimmten Ausdruck, wird der Term umgeformt (Regel von L Strich Hospital, Erweitern mit dem konjugierten Term oder Logarithmieren), bis das Einsetzen funktioniert.

Probe. Numerische Werte für wachsendes x stimmen überein: f(127.18281) gleich 0.49902101, f(1271.8281) gleich 0.49990175, f(12718.281) gleich 0.49999017, f(127182.81) gleich 0.49999902, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

Transkript

Ähnliche Lektionen