Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 1:24

Integriere 1/(x²+1) von 0 bis ∞

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx$
2. Schritte, Teil 1
1. Das ist ein uneigentliches Integral
2. $\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Arctan-Form: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
3. $F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Stammfunktion
4. $\lim_{x \to \infty} F(x) = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327,\quad F(0) = 0$
  Das Teilstück von 0 bis inf berechnen
3. Schritte, Teil 2
1. $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
  Die Teilstücke addieren
4. Die Antwort
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \frac{\pi}{2} \approx 1.570796327$
Converges to π/2 ≈ 1.570796327
5. Probe
- Stammfunktion durch Ableiten bestätigt ✓
- Jeder Grenzwert der Stammfunktion wurde von der Grenzwert-Engine berechnet und numerisch geprüft ✓
- Abgeschnittene numerische Schätzung (Abstand 10⁻⁶ zu Asymptoten und Abbruch bei ±1000 für unendliche Grenzen): 1.5698

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integriere 1/(x hoch zwei plus 1) von 0 bis Unendlichkeit. Berechne das uneigentliche Integral von 1 / (x hoch zwei plus 1) von 0 bis inf.

Schritte, Teil 1. Das ist ein uneigentliches Integral. Es ist uneigentlich, weil eine Integrationsgrenze unendlich ist. Es ist als Grenzwert definiert und konvergiert nur, wenn jeder Grenzwert endlich ist. Arctan-Form: das Integral von du/(a hoch zwei plus u hoch zwei) gleich (1/a) mal arctan(u/a). Stammfunktion. Das Teilstück von 0 bis inf berechnen.

Schritte, Teil 2. Die Teilstücke addieren. Jeder Grenzwert ist endlich, also konvergiert das Integral.

Die Antwort. Die Antwort lautet also Konvergiert: pi/2 ungefähr 1.570796327. Bei einem uneigentlichen Integral wird die kritische Stelle durch eine Variable ersetzt, normal integriert und dann ein Grenzwert gebildet. Ein endlicher Grenzwert bedeutet, dass der unendliche Bereich trotzdem eine endliche Fläche hat.

Probe. Stammfunktion durch Ableiten bestätigt, das stimmt. Jeder Grenzwert der Stammfunktion wurde von der Grenzwert-Engine berechnet und numerisch geprüft, das stimmt. Abgeschnittene numerische Schätzung (Abstand 10 hoch minus 6 zu Asymptoten und Abbruch bei plus minus 1000 für unendliche Grenzen): 1.5698.

Schritte auf dem Bildschirm

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