Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 1:00

Integriere 1/(1 + x² von -1 bis 1

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx$
2. Schritt für Schritt
1. $\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx$
  Mit dem bestimmten Integral beginnen
2. $\int \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Arctan-Form: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
3. $F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Stammfunktion
4. $F(1) - F(-1) = 0.7853981634 - \left(-0.7853981634\right) = 1.570796327$
  Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
3. Die Antwort
$\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx = 1.570796327$
∫ from -1 to 1 = 1.570796327 = π/2
4. Probe
- Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen ✓
- Die adaptive Simpsonregel liefert 1.570796327 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integriere 1/(1 plus x hoch zwei) von minus 1 bis 1. Berechne das bestimmte Integral von 1 / (1 plus x hoch zwei) von x gleich minus 1 bis x gleich 1.

Schritt für Schritt. Mit dem bestimmten Integral beginnen. Arctan-Form: das Integral von du/(a hoch zwei plus u hoch zwei) gleich (1/a) mal arctan(u/a). Stammfunktion. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Die Antwort. Die Antwort lautet also 1.570796327 gleich pi/2. Ein bestimmtes Integral liefert die orientierte Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ.

Probe. Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen, das stimmt. Die adaptive Simpsonregel liefert 1.570796327, das stimmt.

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