Bestimmte IntegraleAnalysisHochschule≈ 0:58

Integriere 1/(x²+1) von 1 bis 2

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1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\int_{1}^{2} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx$
2. Schritt für Schritt
1. $\int_{1}^{2} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx$
  Mit dem bestimmten Integral beginnen
2. $\int \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Arctan-Form: ∫ du/(a² + u²) = (1/a)·arctan(u/a)
3. $F(x) = \tan^{-1}\left( x\right)$
  Stammfunktion
4. $F(2) - F(1) = 1.107148718 - 0.7853981634 = 0.3217505544$
  Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
3. Die Antwort
$\int_{1}^{2} \frac{1}{{x}^{2}+1}\,dx = 0.3217505544$
∫ from 1 to 2 = 0.3217505544
4. Probe
- Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen ✓
- Die adaptive Simpsonregel liefert 0.3217505544 ✓

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Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Integriere 1/(x hoch zwei plus 1) von 1 bis 2. Berechne das bestimmte Integral von 1 / (x hoch zwei plus 1) von x gleich 1 bis x gleich 2.

Schritt für Schritt. Mit dem bestimmten Integral beginnen. Arctan-Form: das Integral von du/(a hoch zwei plus u hoch zwei) gleich (1/a) mal arctan(u/a). Stammfunktion. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Die Antwort. Die Antwort lautet also 0.3217505544. Ein bestimmtes Integral liefert die orientierte Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ.

Probe. Die Stammfunktion abgeleitet und mit dem Integranden verglichen, das stimmt. Die adaptive Simpsonregel liefert 0.3217505544, das stimmt.

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