Trigonometrische GleichungenTrigonometrieOberstufe≈ 1:10

Löse sin(3x) = -1

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\sin\left(3~ x\right) = -1$
2. Schritte, Teil 1
1. $\sin\left(3~ x\right) = -1$
  Von der Gleichung ausgehen
2. $f(x) = \sin\left(3~ x\right)+1 = 0$
  Umschreiben als f(x) = 0
3. Die linke Seite wiederholt sich alle 2π/3, also die Lösungen in einer Periode bestimmen
4. $x = \frac{\pi}{2}$
  Lösungen in einer Periode [0, 2π/3)
3. Schritte, Teil 2
1. $x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3},\quad k \in \mathbb{Z}$
  Beliebige ganzzahlige Vielfache der Periode addieren
4. Die Antwort
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3},\ k \in \mathbb{Z}$
x = π/2 + 2πk/3 (k any integer)
5. Probe
- x = 1.5707963: linke Seite = -1, rechte Seite = -1 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: sin(3x) gleich minus 1. Eine periodische Gleichung in x: sie hat unendlich viele Lösungen, eine Familie für jede Lösung innerhalb einer Periode.

Schritte, Teil 1. Von der Gleichung ausgehen. Umschreiben als f(x) gleich 0. Die linke Seite wiederholt sich alle 2pi/3, also die Lösungen in einer Periode bestimmen. f(x plus 2pi/3) gleich f(x) für jedes x, also ist jede Lösung eine der Lösungen in [0, 2pi/3) plus eine ganze Anzahl von Perioden. Lösungen in einer Periode [0, 2pi/3).

Schritte, Teil 2. Beliebige ganzzahlige Vielfache der Periode addieren.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich pi/2 plus 2pik/3 (k beliebige ganze Zahl). Jede Lösung in einer Periode wurde numerisch gefunden, einem exakten Wert zugeordnet und durch Einsetzen bestätigt; das Addieren ganzer Perioden ergibt alle Lösungen.

Probe. x gleich 1.5707963: linke Seite gleich minus 1, rechte Seite gleich minus 1, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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