Trigonometrische GleichungenTrigonometrieOberstufe≈ 1:11

Löse tan(2x) = 2

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\tan\left(2~ x\right) = 2$
2. Schritte, Teil 1
1. $\tan\left(2~ x\right) = 2$
  Von der Gleichung ausgehen
2. $f(x) = \tan\left(2~ x\right)-2 = 0$
  Umschreiben als f(x) = 0
3. Die linke Seite wiederholt sich alle π/2, also die Lösungen in einer Periode bestimmen
4. $x \approx 0.5535743589$
  Lösungen in einer Periode [0, π/2)
3. Schritte, Teil 2
1. $x \approx 0.5535743589 + \frac{\pi k}{2},\quad k \in \mathbb{Z}$
  Beliebige ganzzahlige Vielfache der Periode addieren
4. Die Antwort
$x \approx 0.5535743589 + \frac{\pi k}{2},\ k \in \mathbb{Z}$
x ≈ 0.5535743589 + πk/2 (k any integer)
5. Probe
- x = 0.55357436: linke Seite = 2, rechte Seite = 2 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: tan(2x) gleich 2. Eine periodische Gleichung in x: sie hat unendlich viele Lösungen, eine Familie für jede Lösung innerhalb einer Periode.

Schritte, Teil 1. Von der Gleichung ausgehen. Umschreiben als f(x) gleich 0. Die linke Seite wiederholt sich alle pi/2, also die Lösungen in einer Periode bestimmen. f(x plus pi/2) gleich f(x) für jedes x, also ist jede Lösung eine der Lösungen in [0, pi/2) plus eine ganze Anzahl von Perioden. Lösungen in einer Periode [0, pi/2).

Schritte, Teil 2. Beliebige ganzzahlige Vielfache der Periode addieren.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x ungefähr 0.5535743589 plus pik/2 (k beliebige ganze Zahl). Jede Lösung in einer Periode ist eine numerische Näherung (etwa 10 signifikante Stellen), die durch Einsetzen bestätigt wurde; das Addieren ganzer Perioden ergibt alle Lösungen.

Probe. x gleich 0.55357436: linke Seite gleich 2, rechte Seite gleich 2, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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