PolynomgleichungenAlgebraOberstufe≈ 1:10

Löse x³ - 2 = 0

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
${ x}^{3}-2 = 0$
2. Schritt für Schritt
1. ${ x}^{3}-2 = 0$
  Von der Gleichung ausgehen
2. $x^{3} - 2 = 0$
  Alle Terme auf eine Seite bringen
3. Keine weiteren rationalen Nullstellen; die verbleibenden 3 Nullstellen numerisch annähern
4. $x = 1.259921$
  Die reellen Lösungen sammeln
3. Am Graphen
Jede Lösung ist eine Stelle, an der der Graph die Null schneidet.
4. Die Antwort
$x = 1.259921$
x = 1.259921
5. Probe
- x = 1.259921: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: x hoch drei minus 2 gleich 0. Polynomgleichung vom Grad 3 in x.

Schritt für Schritt. Von der Gleichung ausgehen. Alle Terme auf eine Seite bringen. Keine weiteren rationalen Nullstellen; die verbleibenden 3 Nullstellen numerisch annähern. Das Durand-Kerner-Verfahren iteriert alle Nullstellen gleichzeitig, bis sie sich nicht mehr ändern. Die reellen Lösungen sammeln.

Am Graphen. Sieh dir jetzt den Graphen von linker Seite minus rechter Seite an. Er schneidet die Null genau bei den gefundenen Lösungen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich 1.259921; komplex: minus 0.62996052 plus minus 1.0911236i. Ein Polynom vom Grad 3 hat genau 3 Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt (einige können komplex sein). Zuerst werden exakte rationale Nullstellen gesucht, danach werden die übrigen exakt berechnet oder angenähert.

Probe. x gleich 1.259921: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt.

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