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Aufgabe lösen
PolynomgleichungenAlgebraOberstufe≈ 1:22

Löse x⁴ + x² - 6 = 0

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: x = -1.4142136, x = 1.4142136; komplex: ±1.7320508i.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.5 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    x4+x2−6=0{ x}^{4}+{ x}^{2}-6 = 0
  2. 2. Schritt für Schritt
    1. x4+x2−6=0{ x}^{4}+{ x}^{2}-6 = 0
      Von der Gleichung ausgehen
    2. x4+x2−6=0x^{4} + x^{2} - 6 = 0
      Alle Terme auf eine Seite bringen
    3. Keine weiteren rationalen Nullstellen; die verbleibenden 4 Nullstellen numerisch annähern
    4. x=−1.4142136,x=1.4142136x = -1.4142136,\quad x = 1.4142136
      Die reellen Lösungen sammeln
  3. 3. Am Graphen
    -5-4-3-2-112345-101020304050x = -1.4142136x = 1.4142136
    Jede Lösung ist eine Stelle, an der der Graph die Null schneidet.
  4. 4. Die Antwort
    x=−1.4142136, x=1.4142136x = -1.4142136,\ x = 1.4142136

    x = -1.4142136, x = 1.4142136

  5. 5. Probe
    • x = -1.4142136: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
    • x = 1.4142136: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: x hoch 4 plus x hoch zwei minus 6 gleich 0. Polynomgleichung vom Grad 4 in x.

Schritt für Schritt. Von der Gleichung ausgehen. Alle Terme auf eine Seite bringen. Keine weiteren rationalen Nullstellen; die verbleibenden 4 Nullstellen numerisch annähern. Das Durand-Kerner-Verfahren iteriert alle Nullstellen gleichzeitig, bis sie sich nicht mehr ändern. Die reellen Lösungen sammeln.

Am Graphen. Sieh dir jetzt den Graphen von linker Seite minus rechter Seite an. Er schneidet die Null genau bei den gefundenen Lösungen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich minus 1.4142136, x gleich 1.4142136; komplex: plus minus 1.7320508i. Ein Polynom 4. Grades hat genau 4 Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt (einige können komplex sein). Zuerst werden exakte rationale Nullstellen gefunden, dann der Rest exakt gelöst oder angenähert.

Probe. x gleich minus 1.4142136: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich 1.4142136: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt.

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