PolynomgleichungenAlgebraOberstufe≈ 1:31

Löse x³ - 2x² - 7x - 4 = 0

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
${ x}^{3}-2~{ x}^{2}-7~ x-4 = 0$
2. Schritte, Teil 1
1. ${ x}^{3}-2~{ x}^{2}-7~ x-4 = 0$
  Von der Gleichung ausgehen
2. $x^{3} - 2x^{2} - 7x - 4 = 0$
  Alle Terme auf eine Seite bringen
3. $x^{2} - 3x - 4 = 0$
  Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = -1 ist eine Nullstelle
4. $x - 4 = 0$
  Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = -1 ist eine Nullstelle
3. Schritte, Teil 2
1. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = 4 ist eine Nullstelle
2. $x = -1,\quad x = 4$
  Die reellen Lösungen sammeln
4. Am Graphen
Jede Lösung ist eine Stelle, an der der Graph die Null schneidet.
5. Die Antwort
$x = -1,\ x = 4$
x = -1, x = 4
6. Probe
- x = -1: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
- x = 4: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: x hoch drei minus 2x hoch zwei minus 7x minus 4 gleich 0. Polynomgleichung vom Grad 3 in x.

Schritte, Teil 1. Von der Gleichung ausgehen. Alle Terme auf eine Seite bringen. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich minus 1 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x plus 1) lässt ein Polynom vom Grad 2 übrig. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich minus 1 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x plus 1) lässt ein Polynom vom Grad 1 übrig.

Schritte, Teil 2. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich 4 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x minus 4) lässt ein Polynom vom Grad 0 übrig. Die reellen Lösungen sammeln.

Am Graphen. Sieh dir jetzt den Graphen von linker Seite minus rechter Seite an. Er schneidet die Null genau bei den gefundenen Lösungen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich minus 1, x gleich 4. Ein Polynom vom Grad 3 hat genau 3 Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt (einige können komplex sein). Zuerst werden exakte rationale Nullstellen gesucht, danach werden die übrigen exakt berechnet oder angenähert.

Probe. x gleich minus 1: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich 4: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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