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Aufgabe lösen
PolynomgleichungenAlgebraOberstufe≈ 1:51

Löse x³ + 3x² - 6x - 18 = 0

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: x = -3, x = - √6 ≈ -2.4494897, x = √6 ≈ 2.4494897.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.7 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    x3+3 x2−6 x−18=0{ x}^{3}+3~{ x}^{2}-6~ x-18 = 0
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. x3+3 x2−6 x−18=0{ x}^{3}+3~{ x}^{2}-6~ x-18 = 0
      Von der Gleichung ausgehen
    2. x3+3x2−6x−18=0x^{3} + 3x^{2} - 6x - 18 = 0
      Alle Terme auf eine Seite bringen
    3. x2−6=0x^{2} - 6 = 0
      Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = -3 ist eine Nullstelle
    4. x2−6=0x^{2} - 6 = 0
      Die verbleibende quadratische Gleichung lösen
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. Δ=b2−4ac=02−4⋅1⋅(−6)=24\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 24
      Die Diskriminante berechnen
    2. Δ > 0, also gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen
    3. x=−b±Δ2a=0±242x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{0 \pm \sqrt{24}}{2}
      Die Mitternachtsformel anwenden
    4. 24=26\sqrt{24} = 2\sqrt{6}
      Die Quadratwurzel vereinfachen
  4. 4. Schritte, Teil 3
    1. x=±6x = \pm \sqrt{6}
      Den Bruch kürzen
    2. x=−3,x=−6≈−2.4494897,x=6≈2.4494897x = -3,\quad x = - \sqrt{6} \approx -2.4494897,\quad x = \sqrt{6} \approx 2.4494897
      Die reellen Lösungen sammeln
  5. 5. Am Graphen
    -6-5-4-3-2-1-50-40-30-20-10x = -3
    Jede Lösung ist eine Stelle, an der der Graph die Null schneidet.
  6. 6. Die Antwort
    x=−3, x=−6≈−2.4494897, x=6≈2.4494897x = -3,\ x = - \sqrt{6} \approx -2.4494897,\ x = \sqrt{6} \approx 2.4494897

    x = -3, x = - √6 ≈ -2.4494897, x = √6 ≈ 2.4494897

  7. 7. Probe
    • x = -3: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
    • x = -2.4494897: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
    • x = 2.4494897: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: x hoch drei plus 3x hoch zwei minus 6x minus 18 gleich 0. Polynomgleichung vom Grad 3 in x.

Schritte, Teil 1. Von der Gleichung ausgehen. Alle Terme auf eine Seite bringen. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich minus 3 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x plus 3) lässt ein Polynom vom Grad 2 übrig. Die verbleibende quadratische Gleichung lösen.

Schritte, Teil 2. Die Diskriminante berechnen. delta größer als 0, also gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Die Mitternachtsformel anwenden. Die Quadratwurzel vereinfachen.

Schritte, Teil 3. Den Bruch kürzen. Die reellen Lösungen sammeln.

Am Graphen. Sieh dir jetzt den Graphen von linker Seite minus rechter Seite an. Er schneidet die Null genau bei den gefundenen Lösungen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich minus 3, x gleich minus die Wurzel aus 6 ungefähr minus 2.4494897, x gleich die Wurzel aus 6 ungefähr 2.4494897. Ein Polynom vom Grad 3 hat genau 3 Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt (einige können komplex sein). Zuerst werden exakte rationale Nullstellen gesucht, danach werden die übrigen exakt berechnet oder angenähert.

Probe. x gleich minus 3: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich minus 2.4494897: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich 2.4494897: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt.

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