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Aufgabe lösen
PolynomgleichungenAlgebraOberstufe≈ 1:57

Löse x⁵ - x = 0

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: x = -1, x = 0, x = 1; komplex: ±i.

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.8 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

  1. 1. Die Aufgabe
    Musterlösung
    x5−x=0{ x}^{5}- x = 0
  2. 2. Schritte, Teil 1
    1. x5−x=0{ x}^{5}- x = 0
      Von der Gleichung ausgehen
    2. x5−x=0x^{5} - x = 0
      Alle Terme auf eine Seite bringen
    3. x4−1=0x^{4} - 1 = 0
      Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = 0 ist eine Nullstelle
    4. x3−x2+x−1=0x^{3} - x^{2} + x - 1 = 0
      Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = -1 ist eine Nullstelle
  3. 3. Schritte, Teil 2
    1. x2+1=0x^{2} + 1 = 0
      Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = 1 ist eine Nullstelle
    2. x2+1=0x^{2} + 1 = 0
      Die verbleibende quadratische Gleichung lösen
    3. Δ=b2−4ac=02−4⋅1⋅1=−4\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4
      Die Diskriminante berechnen
    4. Δ < 0, also gibt es keine reellen Lösungen; die beiden Lösungen sind konjugiert komplex
  4. 4. Schritte, Teil 3
    1. x=0±−42=0±2 i2x = \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{0 \pm 2\,i}{2}
      Die Mitternachtsformel mit √(−1) = i anwenden
    2. x=±ix = \pm i
      Kürzen
    3. x=−1,x=0,x=1x = -1,\quad x = 0,\quad x = 1
      Die reellen Lösungen sammeln
  5. 5. Am Graphen
    -4-3-2-11234-60-40-20204060x = -1x = 0x = 1
    Jede Lösung ist eine Stelle, an der der Graph die Null schneidet.
  6. 6. Die Antwort
    x=−1, x=0, x=1x = -1,\ x = 0,\ x = 1

    x = -1, x = 0, x = 1

  7. 7. Probe
    • x = -1: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
    • x = 0: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
    • x = 1: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: x hoch 5 minus x gleich 0. Polynomgleichung vom Grad 5 in x.

Schritte, Teil 1. Von der Gleichung ausgehen. Alle Terme auf eine Seite bringen. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich 0 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x minus 0) lässt ein Polynom vom Grad 4 übrig. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich minus 1 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x plus 1) lässt ein Polynom vom Grad 3 übrig.

Schritte, Teil 2. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich 1 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x minus 1) lässt ein Polynom vom Grad 2 übrig. Die verbleibende quadratische Gleichung lösen. Die Diskriminante berechnen. delta kleiner als 0, also gibt es keine reellen Lösungen; die beiden Lösungen sind konjugiert komplex.

Schritte, Teil 3. Die Mitternachtsformel mit die Wurzel aus minus 1 gleich i anwenden. Kürzen. Die reellen Lösungen sammeln.

Am Graphen. Sieh dir jetzt den Graphen von linker Seite minus rechter Seite an. Er schneidet die Null genau bei den gefundenen Lösungen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich minus 1, x gleich 0, x gleich 1; komplex: plus minus i. Ein Polynom 5. Grades hat genau 5 Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt (einige können komplex sein). Zuerst werden exakte rationale Nullstellen gefunden, dann der Rest exakt gelöst oder angenähert.

Probe. x gleich minus 1: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich 0: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich 1: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt.

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Löse x⁵ - x = 0: Videolektion Schritt für Schritt