PolynomgleichungenAlgebraOberstufe≈ 1:40

Löse x⁶ - 64 = 0

Eine animierte Schritt-für-Schritt-Lektion. Drücke Abspielen, um jeden Schritt mit Untertiteln zu sehen, oder lies unten Schritte und Transkript. Antwort: x = -2, x = 2; komplex: 1 ± 1.7320508i, -1 ± 1.7320508i.

GeschwindigkeitSprache

Kapitel

Transkript

Aufgezeichnetes Video: Die Stimme und die Schrift im Bild sind auf Englisch. Untertitel: Deutsch. Für die Vertonung in dieser Sprache öffnen Sie bitte die interaktive Version.

Englisches Video: MP4 herunterladen (0.6 MB) · Untertitel (WebVTT): Deutsch · Englische Untertitel (WebVTT)

Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
${ x}^{6}-64 = 0$
2. Schritte, Teil 1
1. ${ x}^{6}-64 = 0$
  Von der Gleichung ausgehen
2. $x^{6} - 64 = 0$
  Alle Terme auf eine Seite bringen
3. $x^{5} - 2x^{4} + 4x^{3} - 8x^{2} + 16x - 32 = 0$
  Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = -2 ist eine Nullstelle
4. $x^{4} + 4x^{2} + 16 = 0$
  Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = 2 ist eine Nullstelle
3. Schritte, Teil 2
1. Keine weiteren rationalen Nullstellen; die verbleibenden 4 Nullstellen numerisch annähern
2. $x = -2,\quad x = 2$
  Die reellen Lösungen sammeln
4. Am Graphen
Jede Lösung ist eine Stelle, an der der Graph die Null schneidet.
5. Die Antwort
$x = -2,\ x = 2$
x = -2, x = 2
6. Probe
- x = -2: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
- x = 2: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: x hoch 6 minus 64 gleich 0. Polynomgleichung vom Grad 6 in x.

Schritte, Teil 1. Von der Gleichung ausgehen. Alle Terme auf eine Seite bringen. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich minus 2 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x plus 2) lässt ein Polynom vom Grad 5 übrig. Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x gleich 2 ist eine Nullstelle. Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x minus 2) lässt ein Polynom vom Grad 4 übrig.

Schritte, Teil 2. Keine weiteren rationalen Nullstellen; die verbleibenden 4 Nullstellen numerisch annähern. Das Durand-Kerner-Verfahren iteriert alle Nullstellen gleichzeitig, bis sie sich nicht mehr ändern. Die reellen Lösungen sammeln.

Am Graphen. Sieh dir jetzt den Graphen von linker Seite minus rechter Seite an. Er schneidet die Null genau bei den gefundenen Lösungen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also x gleich minus 2, x gleich 2; komplex: 1 plus minus 1.7320508i, minus 1 plus minus 1.7320508i. Ein Polynom 6. Grades hat genau 6 Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt (einige können komplex sein). Zuerst werden exakte rationale Nullstellen gefunden, dann der Rest exakt gelöst oder angenähert.

Probe. x gleich minus 2: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt. x gleich 2: linke Seite gleich 0, rechte Seite gleich 0, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

Transkript

Ähnliche Lektionen