DerivadasCálculoUniversidad≈ 1:37

Derivada de (e^(sin(x)))/(√(x²+x+1))

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: f'(x) = ((-2x - 1) / 2 + sqrt(x² + x + 1)²·cos(x))·e^sin(x) / sqrt(x² + x + 1)³.

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Pasos en pantalla

1. El problema
Ejemplo resuelto
$\frac{d}{dx}\left[\frac{{e}^{\sin\left( x\right)}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}\right]$
2. Pasos, parte 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\frac{{e}^{\sin\left( x\right)}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}\right] = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
  Regla del cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
2. $\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{x}^{2}+ x+1}\right] = \frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}$
  Regla de la cadena — d/dx[√u] = u′/(2√u)
3. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x+1\right] = 2x+1$
  Regla de la suma: derivar cada término por separado
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+ x\right] = 2x+1$
  Regla de la suma: derivar cada término por separado
3. Pasos, parte 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Regla de la potencia: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
2. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{\sin\left( x\right)}\right] = {e}^{\sin\left( x\right)} \cos\left( x\right)$
  Regla de la exponencial: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. $\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
  d/dx[sin x] = cos x
4. $f'(x) = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
  Reunir y simplificar
4. La respuesta
$f'(x) = \frac{\left(\frac{-\left(2x\right)-1}{2}+{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{2} \cos\left( x\right)\right) {e}^{\sin\left( x\right)}}{{\sqrt{{x}^{2}+ x+1}}^{3}}$
f'(x) = ((-2x - 1) / 2 + sqrt(x² + x + 1)²·cos(x))·e^sin(x) / sqrt(x² + x + 1)³
5. Comprobación
- Contrastado numéricamente con un derivador simbólico independiente en 8 puntos de muestra ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: Derivada de (e elevado a sin(x)))/(sqrt(x al cuadrado más x más 1)). Calcular la derivada de (e elevado a sin(x))) / (sqrt(x al cuadrado más x más 1)) con respecto a x.

Pasos, parte 1. Regla del cociente: (u/v) prima es igual a (u prima v menos uv prima )/v al cuadrado. Regla de la cadena — d sobre d x[la raíz cuadrada de u] es igual a u prima /(2la raíz cuadrada de u. Regla de la suma: derivar cada término por separado. Regla de la suma: derivar cada término por separado.

Pasos, parte 2. Regla de la potencia: d sobre d x[x elevado a n] es igual a n por x elevado a n menos 1. Regla de la exponencial: d sobre d x[eᵘ] es igual a eᵘ por u prima. d sobre d x[sin x] es igual a cos x. Reunir y simplificar.

La respuesta. Entonces, la respuesta es f prima de x es igual a ((menos 2x menos 1) / 2 más sqrt(x al cuadrado más x más 1) al cuadrado por cos(x)) por e elevado a sin(x) / sqrt(x al cuadrado más x más 1) al cubo. La derivada se construye de fuera hacia dentro: las sumas se separan en términos, las constantes salen como factor, los productos y los cocientes usan sus reglas y cada función compuesta se multiplica por la derivada de su interior (regla de la cadena).

Comprobación. Contrastado numéricamente con un derivador simbólico independiente en 8 puntos de muestra, y se cumple.

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