Sucesiones y seriesÁlgebraUniversidad≈ 1:37

Evalúa la suma de 1/3ⁿ desde n=1 hasta ∞

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: La serie converge (serie geométrica (|r| < 1)); suma = 1/2.

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1. El problema
Ejemplo resuelto
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
2. Paso a paso
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
  Escribir la serie
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{2}$
  Reconocer una serie geométrica
3. La respuesta
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}} \ \text{converge} = \frac{1}{2}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/2
4. Comprobación
- Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ = 0.49999153, S₁₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀ = 0.5, S₁₀₀₀₀ = 0.5

Transcripción

El problema. Este es el problema: Evalúa la suma de 1 entre 3 elevado a n desde n es igual a 1 hasta infinito. Determinar si Σ 1 entre 3 elevado a n (n desde 1 hasta ∞) converge o diverge.

Paso a paso. Escribir la serie. Σ a(n) para n es igual a 1, 2, 3, … con a(n) es igual a 1 entre 3 elevado a n. Primeros términos: 0.333333, 0.111111, 0.037037, 0.0123457, …. Reconocer una serie geométrica. Cada término es el anterior multiplicado por r es igual a 1 entre 3 (comprobado en los 40 primeros términos), con primer término a es igual a 1 entre 3. Como |r| menor que 1, la serie converge y su suma es a/(1 menos r) es igual a 1 entre 2 aproximadamente 0.5.

La respuesta. Entonces, la respuesta es La serie converge (serie geométrica (|r| menor que 1)); suma es igual a 1 entre 2. Una serie converge cuando sus sumas parciales tienden a un número finito. Para ello los términos deben tender a 0, pero eso solo no basta (la serie armónica diverge), así que se decide con un criterio de comparación, del cociente, de la raíz, de Leibniz o de la integral.

Comprobación. Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ es igual a 0.49999153, S₁₀₀ es igual a 0.5, S₁₀₀₀ es igual a 0.5, S₁₀₀₀₀ es igual a 0.5.

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