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Resolver un problema
Sucesiones y seriesÁlgebraUniversidad≈ 1:59

Evalúa la suma de 1/√(n) desde n=1 hasta ∞

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: La serie diverge (comparación con Σ 1/n).

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.7 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}
  2. 2. Paso a paso
    1. ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}
      Escribir la serie
    2. lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0
      Criterio del término general
    3. lim⁡n→∞an1/n=∞\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \infty
      Comparación por paso al límite con una serie p
  3. 3. La respuesta
    ∑n=1∞1n diverge\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ \text{diverge}

    comparison with Σ 1/n ⇒ diverges

  4. 4. Comprobación
    • Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ = 5.0209979, S₁₀₀ = 18.589604, S₁₀₀₀ = 61.801009, S₁₀₀₀₀ = 198.54465

Transcripción

El problema. Este es el problema: Evalúa la suma de 1/sqrt(n) desde n es igual a 1 hasta infinito. Determinar si Σ 1 / sqrt(n) (n desde 1 hasta ∞) converge o diverge.

Paso a paso. Escribir la serie. Σ a(n) para n es igual a 1, 2, 3, … con a(n) es igual a 1 / sqrt(n). Primeros términos: 1, 0.707107, 0.57735, 0.5, …. Criterio del término general. lim a(n) es igual a 0, así que el criterio de divergencia no es concluyente; los términos sí disminuyen, de modo que hace falta un criterio más fino. Comparación por paso al límite con una serie p. Términos positivos: comparar en su lugar con Σ 1/n: lim a(n) por n es igual a ∞. El límite es ∞, así que eventualmente los términos son mayores que 1/n; esa p-serie diverge (p menor o igual que 1), así que esta también.

La respuesta. Entonces, la respuesta es La serie diverge (comparación con Σ 1/n). Una serie converge cuando sus sumas parciales tienden a un número finito. Para ello los términos deben tender a 0, pero eso solo no basta (la serie armónica diverge), así que se decide con un criterio de comparación, del cociente, de la raíz, de Leibniz o de la integral.

Comprobación. Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ es igual a 5.0209979, S₁₀₀ es igual a 18.589604, S₁₀₀₀ es igual a 61.801009, S₁₀₀₀₀ es igual a 198.54465.

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