Evalúa la suma de 1/n desde n=1 hasta ∞

El problema. Este es el problema: Evalúa la suma de 1/n desde n es igual a 1 hasta infinito. Determinar si Σ 1 / n (n desde 1 hasta ∞) converge o diverge.

Paso a paso. Escribir la serie. Σ a(n) para n es igual a 1, 2, 3, … con a(n) es igual a 1 / n. Primeros términos: 1, 0.5, 0.333333, 0.25, …. Criterio del término general. lim a(n) es igual a 0, así que el criterio de divergencia no es concluyente; los términos sí disminuyen, de modo que hace falta un criterio más fino. Comparación por paso al límite con una serie p. Términos positivos: los términos disminuyen aproximadamente como 1/n (estimado a partir de a(2N)/a(N)), así que comparar con Σ 1/n: lim a(n) por n es igual a 1. El límite es un número finito positivo, así que la serie se comporta exactamente como la p-serie Σ 1/n, que diverge porque p menor o igual que 1.

La respuesta. Entonces, la respuesta es La serie diverge (prueba de comparación del límite con Σ 1/n). Una serie converge cuando sus sumas parciales tienden a un número finito. Para ello los términos deben tender a 0, pero eso solo no basta (la serie armónica diverge), así que se decide con un criterio de comparación, del cociente, de la raíz, de Leibniz o de la integral.

Comprobación. Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ es igual a 2.9289683, S₁₀₀ es igual a 5.1873775, S₁₀₀₀ es igual a 7.4854709, S₁₀₀₀₀ es igual a 9.787606.