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Resolver un problema
Sucesiones y seriesÁlgebraUniversidad≈ 1:56

Evalúa la suma de (-1)ⁿ/2ⁿ desde n=0 hasta ∞

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: La serie converge (serie geométrica (|r| < 1)); suma = 2/3.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.7 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    ∑n=0∞(−1)n2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}}
  2. 2. Paso a paso
    1. ∑n=0∞(−1)n2n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}}
      Escribir la serie
    2. S=a1−r=23S = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{3}
      Reconocer una serie geométrica
  3. 3. La respuesta
    ∑n=0∞(−1)n2n converge=23\sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{2}^{n}} \ \text{converge} = \frac{2}{3}

    geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 2/3

  4. 4. Comprobación
    • Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ = 0.66601563, S₁₀₀ = 0.66666667, S₁₀₀₀ = 0.66666667, S₁₀₀₀₀ = 0.66666667

Transcripción

El problema. Este es el problema: Evalúa la suma de (menos 1) elevado a n/2 elevado a n desde n es igual a 0 hasta infinito. Determinar si Σ (menos 1) elevado a n / 2 elevado a n (n desde 0 hasta ∞) converge o diverge.

Paso a paso. Escribir la serie. Σ a(n) para n es igual a 0, 1, 2, … con a(n) es igual a (menos 1) elevado a n / 2 elevado a n. Primeros términos: 1, menos 0.5, 0.25, menos 0.125, …. Reconocer una serie geométrica. Cada término es el anterior multiplicado por r es igual a menos 1 entre 2 (comprobado en los 40 primeros términos), con primer término a es igual a 1. Como |r| menor que 1, la serie converge y su suma es a/(1 menos r) es igual a 2 entre 3 aproximadamente 0.6666666667.

La respuesta. Entonces, la respuesta es La serie converge (serie geométrica (|r| menor que 1)); suma es igual a 2 entre 3. Una serie converge cuando sus sumas parciales tienden a un número finito. Para ello los términos deben tender a 0, pero eso solo no basta (la serie armónica diverge), así que se decide con un criterio de comparación, del cociente, de la raíz, de Leibniz o de la integral.

Comprobación. Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ es igual a 0.66601563, S₁₀₀ es igual a 0.66666667, S₁₀₀₀ es igual a 0.66666667, S₁₀₀₀₀ es igual a 0.66666667.

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