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Resolver un problema
Sucesiones y seriesÁlgebraUniversidad≈ 2:00

Evalúa la suma de n/2ⁿ desde n=1 hasta ∞

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: La serie converge (prueba de la razón); suma ≈ 2 (coincide con 2 a 10+ dígitos).

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.7 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}
  2. 2. Paso a paso
    1. ∑n=1∞n2n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}}
      Escribir la serie
    2. lim⁡n→∞n2n=0\lim_{n\to\infty} \frac{n}{{2}^{n}} = 0
      Criterio del término general
    3. L=lim⁡n→∞n+12n=12L = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+1}{2}}{n} = \frac{1}{2}
      Criterio del cociente
    4. Estimar la suma numéricamente
  3. 3. La respuesta
    ∑n=1∞n2n converge≈2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{{2}^{n}} \ \text{converge} \approx 2

    ratio test ⇒ converges, S ≈ 2 (matches 2 to 10+ digits)

  4. 4. Comprobación
    • Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ = 1.9882813, S₁₀₀ = 2, S₁₀₀₀ = 2, S₁₀₀₀₀ = 2

Transcripción

El problema. Este es el problema: Evalúa la suma de n/2 elevado a n desde n es igual a 1 hasta infinito. Determinar si Σ n / 2 elevado a n (n desde 1 hasta ∞) converge o diverge.

Paso a paso. Escribir la serie. Σ a(n) para n es igual a 1, 2, 3, … con a(n) es igual a n / 2 elevado a n. Primeros términos: 0.5, 0.5, 0.375, 0.25, …. Criterio del término general. lim a(n) es igual a 0, así que el criterio de divergencia no es concluyente; los términos sí disminuyen, de modo que hace falta un criterio más fino. Criterio del cociente. Términos positivos: a(n más 1)/a(n) se simplifica a (n más 1) / 2 / n, y su límite cuando n → ∞ es L es igual a 1 entre 2. L menor que 1, así que la serie converge (absolutamente). Estimar la suma numéricamente. Se calcularon las sumas parciales S N para varios N y se extrapolaron a N → ∞ (extrapolación de Richardson; con términos alternados se promedian primero). Dos extrapolaciones independientes coinciden en menos de 10 elevado a menos 10, dando S aproximadamente 2. Cualquier forma cerrada mostrada es una identificación numérica, no una demostración.

La respuesta. Entonces, la respuesta es La serie converge (prueba de la razón); suma aproximadamente 2 (coincide con 2 a 10 más dígitos). Una serie converge cuando sus sumas parciales tienden a un número finito. Para ello los términos deben tender a 0, pero eso solo no basta (la serie armónica diverge), así que se decide con un criterio de comparación, del cociente, de la raíz, de Leibniz o de la integral.

Comprobación. Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ es igual a 1.9882813, S₁₀₀ es igual a 2, S₁₀₀₀ es igual a 2, S₁₀₀₀₀ es igual a 2.

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