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Resolver un problema
Sucesiones y seriesÁlgebraUniversidad≈ 2:28

Evalúa la suma de 1/(n(n+1)) desde n=1 hasta ∞

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: La serie converge (prueba de comparación del límite con Σ 1/n^2); suma ≈ 1 (coincide con 1 a 10+ dígitos).

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.9 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)}
  2. 2. Paso a paso
    1. ∑n=1∞1n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)}
      Escribir la serie
    2. lim⁡n→∞1n(n+1)=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)} = 0
      Criterio del término general
    3. lim⁡n→∞an1/n2=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1
      Comparación por paso al límite con una serie p
    4. Estimar la suma numéricamente
  3. 3. La respuesta
    ∑n=1∞1n(n+1) converge≈1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+1\right)} \ \text{converge} \approx 1

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 1 (matches 1 to 10+ digits)

  4. 4. Comprobación
    • Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ = 0.90909091, S₁₀₀ = 0.99009901, S₁₀₀₀ = 0.999001, S₁₀₀₀₀ = 0.99990001

Transcripción

El problema. Este es el problema: Evalúa la suma de 1/(n(n más 1)) desde n es igual a 1 hasta infinito. Decidir si Σ 1 / (n(n más 1)) (n desde 1 hasta ∞) converge o diverge.

Paso a paso. Escribir la serie. Σ a(n) para n es igual a 1, 2, 3, … con a(n) es igual a 1 / (n(n más 1)). Primeros términos: 0.5, 0.166667, 0.0833333, 0.05, …. Criterio del término general. lim a(n) es igual a 0, así que el criterio de divergencia no es concluyente; los términos sí disminuyen, de modo que hace falta un criterio más fino. Comparación por paso al límite con una serie p. Términos positivos: los términos disminuyen aproximadamente como 1/n al cuadrado (estimado a partir de a(2N)/a(N)), así que se compara con Σ 1/n al cuadrado: lim a(n) por n al cuadrado es igual a 1. El límite es un número positivo finito, así que la serie se comporta exactamente como la serie p Σ 1/n al cuadrado, que converge porque p mayor que 1. Estimar la suma numéricamente. Se calcularon las sumas parciales S N para varios N y se extrapolaron a N → ∞ (extrapolación de Richardson; con términos alternados se promedian primero). Dos extrapolaciones independientes coinciden en menos de 10 elevado a menos 10, dando S aproximadamente 1. Cualquier forma cerrada mostrada es una identificación numérica, no una demostración.

La respuesta. Entonces, la respuesta es La serie converge (prueba de comparación del límite con Σ 1/n al cuadrado); suma aproximadamente 1 (coincide con 1 a 10 más dígitos). Una serie converge cuando sus sumas parciales tienden a un número finito. Para ello los términos deben tender a 0, pero eso solo no basta (la serie armónica diverge), así que se decide con un criterio de comparación, del cociente, de la raíz, de Leibniz o de la integral.

Comprobación. Sumas parciales (indicio, no demostración): S₁₀ es igual a 0.90909091, S₁₀₀ es igual a 0.99009901, S₁₀₀₀ es igual a 0.999001, S₁₀₀₀₀ es igual a 0.99990001.

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